Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 3

Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

Lembrando que podem ser quais quer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

Nossa matriz é:

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar onde está o -1

Passo 3

Como foi dito, temos que zerar o -1 primeiro, mas como fazemos isso? Primeiro vamos ter que descobrir qual número vamos multiplicar pelo nosso pivô 2 para dar 1 (porque somando 1), assim

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos! Assim como na primeira linha e na primeira coluna está o 3, multiplicamos por e somamos com o valor da segunda linha e da mesma coluna, e repetimos o passo:

Logo, temos a matriz U!

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

Substituímos o pelo oposto do multiplicador, ou seja, o

Passo 5

Para saber se está certo a resposta, veremos se

Assim, fazendo a multiplicação de matrizes teremos

Assim, temos certeza eu as matrizes L e U estão corretas!

Passo 6

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

Logo, como -1 será o pivô, multiplicaremos da segunda para a primeira linha

Assim

Passo 7

Agora a segunda matriz terá esse formato:

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

Só que você consegue perceber que já na primeira equação, que 2 não é igual a -6? Logo, percebemos que o sistema proposto pelo exercício não é válido!