Enunciado

Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.

  5 5 10 - 8 - 7 - 9 0 4 26 x 1 x 2 x 3 = 0 1 4

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1           e             U = x 11 x 12 x 13 0 x 22 x 23 0 0 x 33

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 13   x 21 ,   x 22 ,   x 23 ,   x 31 ,   x 32   e   x 33 podem ser quaisquer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

Nossa sistema é:

  5 5 10 - 8 - 7 - 9 0 4 26 x 1 x 2 x 3 = 0 1 4

Só que a fim de facilitar as contas, podemos simplificar a primeira linha por 5, e a terceira por 2, lembrando que o resultado também deve ser levado em conta!

  1 1 2 - 8 - 7 - 9 0 2 13 x 1 x 2 x 3 = 0 1 2

A matriz que vamos decompor em LU é

  1 1 2 - 8 - 7 - 9 0 2 13

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar onde está -8 e 2.

Passo 3

O nosso pivô será o 1 da primeira linha, e temos que zerar com o -8, então vamos pegar seu oposto (8).

1 α = 8 →   α = 8

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos pela segunda linha

  1 1 2 - 8 - 7 - 9 0 2 13 × 8

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos!

  1 1 2 1 × 8 - 8 1 × 8 - 7 2 × 8 - 9 0 2 13 ∼ 1 1 2 0 1 7 0 2 13  

E com 1 como pivô e o oposto de 2

1 γ = - 2           →     γ = - 2

Assim

1 1 2 0 1 7 0 2 13   - 2

  1 1 2 0 1 7 0 1 × - 2 + 2 7 × - 2 + 1 3 ∼ 1 1 2 0 1 7 0 0 - 1

Temos a matriz U!

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1          

Assim, entramos em outro sistema de equações:

1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1 1 1 2 0 1 7 0 0 - 1 =     1 1 2 - 8 - 7 - 9 0 2 13

Logo

x 21 = - 8

x 31 =   0

x 31 + x 32 = 2 → x 32 = 2

Substituímos os valores encontrados:

L = 1 0 0 - 8 1 0 0 2 1          

Passo 5

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

  1 1 2 - 8 - 7 - 9 0 2 13

13 α = - 2 → α = - 2 13

1 3 β = 9 → β = 9 13

Logo, como 1 será o pivô, multiplicaremos por 2 da terceira para a primeira linha e por - 2   da terceira para a segunda linha

  1 9 13 0 - 8 73 13 0 0 2 13

73 13 = - 9 13 → γ = 9 73

Ficando assim

  1 73 0 0 - 8 73 13 0 0 2 13

Passo 6

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

  1 1 2 - 8 - 7 - 9 0 2 13 =   1 73 0 0 - 8 73 13 0 0 2 13 1 x 12 x 13 0 1 x 23 0 0 1

Mas se você perceber que

1 73 ≠ 1

Ou seja, não é possível resolver as matrizes dessa forma.

Passo 7

Finalmente resolvendo o sistema

1 0 0 - 8 1 0 0 2 1   1 1 2 0 1 7 0 0 - 1 =     1 1 2 - 8 - 7 - 9 0 2 13

Assim

  1 1 2 - 8 - 7 - 9 0 2 13 x 1 x 2 x 3 = 0 1 2

1 1 2 | 0 - 8 - 7 - 9 | 1 0 2 1 3 | 2

Simplificando as linhas das matrizes temos

1 1 2 | 0 - 8 - 7 - 9 | 1 0 2 13 | 2 ∼   1 1 2 | 0 0 1 7 | 1 0 2 13 | 2 ∼   1 0 - 5 | - 1 0 1 7 |           1 0 0 - 1 |           0 ∼

1 0 0 | - 1 0 1 0 |           1 0 0 1 |           0

Resposta

x 1 = - 1

x 2 = 1

x 3 =   0

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