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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 10

Nos Exercícios 9-10, são dados uma matriz   A com um autovalor dominante e uma sequência x 0 ,   A x 0 ,     .   .     ,   A 5 x 0 . Use as Fórmulas (9) e (10) para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associado.

A = 1 2 2 1 ;     x 0 = 0 1 ; A x 0 = 2 1   .   A 2 x 0 = 4 5   .   A 3 x 0 = 1 4 1 3   .   A 4 x 0 = 4 0 4 1   .   A 5 x 0 = 12 2 12 1

Passo 1

A Fórmula (9) é

A x 1 .   x 1 x 1 .   x 1   .   A x 2 .   x 2 x 2 .   x 2   .   A x 3 .   x 3 x 3 .   x 3 .       …       A x k .   x k x k .   x k   .     …  

E a (10) é

x 0   .   x 1 =   A x 0 max ⁡ ( A x 0 )   .   x 2 =   A 2 x 0 max ⁡ ( A 2 x 0 ) .   … . .   x k =   A k x 0 max ⁡ ( A k x 0 )

Passo 2

Agora, vamos aplicar o método das potências, lembrando que o m a x é o maior valor da matriz resultante das multiplicações

A x 0 = 1 2 2 1 0 1 = 2 1                                                                                                       x 1 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 2 . 2 1           ≈ 1 0,5

A x 1 ≈ 1 2 2 1 1 0,5 = 2 2 , 5                                                                                               x 2 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 2,5 . 2 2 , 5 ≈ 0,8 1

A x 2 ≈ 1 2 2 1 0,8 1 = 2 . 8 2 , 6                                                               x 3 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 2,8 . 2 . 8 2 , 6   ≈ 1 0,928

A x 3 ≈ 1 2 2 1 1 0,928 = 2 , 857 2 , 928                                 x 4 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 2,928 . 2,857 2,928     ≈ 0,975 1

A x 4 ≈ 1 2 2 1 1 0,975 = 0,975 1                                 x 5 = A x 0 m a x ⁡ ( A x 0 ) = 1 2,951 . 0,975 1         ≈ 1 , 008 1

A x 5 ≈ 1 2 2 1 1,008 1 = 3,0 08 3,0 16

Passo 3

Continuando:

λ 1 = A x 1 . x 1 x 1 . x 1   = A x 1 T . x 1 x 1 T . x 1 = 3,25 1,25 = 2,6

Sabendo como faz podemos ir direto!

λ 2 = 4,84 1,64 = 2,95

λ 3 = 5,574 1,861 = 2,995

λ 4 = 5,851 1,950 = 3,0005

λ 5 = 6,048 2,016 = 3

O autovalor é 3.

Passo 4

Seguindo (10)

x 0   .   x 1 =   A x 0 max ⁡ ( A x 0 )   .   x 2 =   A 2 x 0 max ⁡ ( A 2 x 0 ) .   … . .   x k =   A k x 0 max ⁡ ( A k x 0 )

Então

x 0   .   x 1 T =   0 1   0,8 1 = [ 1 ]

Ai

  x 2 =   A 2 x 0 max ⁡ ( A 2 x 0 ) = 4 5   . 1 5 = 0,8 1

x 3 =   A 3 x 0 max ⁡ ( A 3 x 0 ) = 1 4 1 3   . 1 14 = 1 0,928

x 4 =   A 4 x 0 max ⁡ ( A 4 x 0 ) = 4 0 4 1   . 1 41 = 0,975 1

x 5 =   A 5 x 0 max ⁡ ( A 5 x 0 ) = 12 2 12 1   . 1 122 = 1 0,991

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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