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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 12a

Em cada caso, use o método das potências com mudança de escala euclidiana para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associado da matriz dada. Escolha seu vetor inicial e pare quando o erro percentual estimado na aproximação do autovalor for menor do que 0,1%.

A = 1 3 3 3 4 - 1 3 - 1 10

Passo 1

Vamos determinar o vetor inicial aleatoriamente:

1 1 1

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A x 0 = 1 3 3 3 4 - 1 3 - 1 10 1 1 1 = 7 6 12                                                                 x 1 = A x 0 | A x 0 | = 1 15,1327 . 7 6 12 ≈ 0 , 4626 0 , 3965 0,7930

A x 1 ≈ 1 3 3 3 4 - 1 3 - 1 10 0,4626 0,3965 0,7930 = 1,6520 2,1807 8,9211                                                       x 2 = 1 9,3311 . 1,6520 2,1807 8,9211 ≈ 0,1770 0,2337 0,9561

A x 2 ≈ 1 3 3 3 4 - 1 3 - 1 10 0,1770 0,2337 0,9561 = 1,775 - 0,3731 10,2526                           x 3 = 1 10,3924 . 1,775 - 0,3731 10,2526 ≈ . 0 , 1140 - 0,0361 0,9928

A x 3 ≈ 1 3 3 3 4 - 1 3 - 1 10 0,1140 - 0,0361 0,9928 = 1,0707 - 0,7952 10,3964                       x 4 = 1 10,3064 . 1,0707 - 0,7952 10,3964 ≈ 0 , 1030 - 0,0 76 5 0,9917

A x 4 ≈ 1 3 3 3 4 - 1 3 - 1 10 0,1030 - 0,0765 0,9917 = 1,0182 - 0,9887 1 0 , 302 9  

Passo 2

O (b) será usar a fórmula:

λ 0 = A x 0 . x 0 = A x 0 T . x 0 = 4,3515

λ 1 = 4,2829

λ 2 = 5,1423

λ 3 = 5,1916

λ 4 = 5 , 1 91

Passo 3

Para fazer o erro percentual faremos

λ 1 = λ 1 - λ 0 λ 1 = 0,111

E multiplicando por 100

0,111 = 11 , 1 %

Assim, continuamos a aplicar a fórmula e já aplicando a porcentagem

λ 2 = 4,8 %  

λ 3 = 0,9 %

λ 4 = 0 , 1 %

λ 5 = 0,0 3 %

Resposta

O autovalor com a porcentagem de erro menor que 0,1 % é   λ 5 = 0,03 %

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