1. Mostre que se f → = f ( x ) for duas vezes derivável, então a função D : C 2 ( - ∞ , ∞ ) → F ( - ∞ , ∞ ) definida por D f → = f ' ' ( x ) é uma transformação linear.
  2. Encontre uma base do núcleo de D
  3. Mostre que o conjunto das funções que satisfazem a equação D f → = f ( x ) é um subespaço bidimensional de C 2 ( - ∞ , ∞ ) e encontre uma base desse subespaço.

Passo 1

Se D f = f ( x ) , ou seja, estamos falando de uma função que não muda após ser derivada duas vezes.

No cálculo conhecemos as funções exponenciais do formato

f x = a e x

g x = b e - x

Vamos derivá-la duas vezes:

f ' ( x ) = a e x f ' ' x = a e x g ' x = - b e - x g ' ' x = b e - x     Isso demonstra que essas funções exponenciais não mudam após serem derivadas duas vezes, e podem ser bases do subespaço de D f = f ( x )

Resposta

f x = a e x ;   g x = b e - x

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