Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 3

Nos Exercícios 3-4, aplique o método das potências com mudança de escala euclidiana à matriz A , começando com x 0 e parando em x 4 . Compare a aproximação resultante com o valor exto do autovalor dominante e o autovetor unitário correspondente.

A = 5 - 1 - 1 - 1 ; x 0 = 1 0

Passo 1

Temos que encontrar os autovalores de A .

det ⁡ A - λ I = 0

  5 - λ - 1 - 1 - 1 - λ = 0

5 - λ - 1 - λ - - 1 - 1 =   0 → - 5 - 5 λ + λ + λ 2 - 1 = 0 →     λ 2 - 4 λ - 6 = 0

Fazendo Bháskara:

Δ = b 2 - 4 a c = - 4 2 - 4.1 . - 6 = 40

x = - b ± Δ 2 a = 4 ± 40 2 = 2 ±   10

Logo

λ 1 = 2 + 10

λ 2 = 2 - 10

Lembrando que   λ 1 = 2 + 10 é dominante

Passo 2

Agora, descobrindo o auto espaços, com o autovalor dominante:

5 - 1 - 1 - 1 x y = x ( 2 + 10 ) y ( 2 + 10 )

Entramos em um sistema de equações

5 x - y = 2 x + x 10 - x - y = 2 y + y √ ( 10 ) → y = 3 x - 10 x

Assim descobrimos o autovetor

x 3 x - 10 x ∼ x 1 3 - 10

Passo 3

Normalizando

1 2 + 3 - 10 2 = 1 + 9 - 6 10 + 10 = 20 - 6 10

Logo

1 20 - 6 10 1 3 - 10 ∼ 1 20 - 6 10 3 - 10 20 - 6 10 ≈ 0,97434 - 0,15911

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método das potências

A x 0 = 5 - 1 - 1 - 1 1 0 = 5 - 1                                 x 1 = A x 0 A x 0 = 1 5 2 + - 1 2 = 1 26 . 5 - 1 ≈ 0,981 - 0,196

A x 1 ≈ 5 - 1 - 1 - 1 0,981 - 0,196 = 5,099 - 0,784                           x 2 = A x 0 A x 0 = 1 26,615 . 5 - 1 ≈ 0,969 - 0,194

A x 2 ≈ 5 - 1 - 1 - 1 0,969 - 0,194 = 5,040 - 0,775                                                     x 3 = A x 0 A x 0 = 1 26 . 5 - 1 ≈ 0,981 - 0,196

A x 3 ≈ 5 - 1 - 1 - 1 0,981 - 0,196 = 5,099 - 0,784                                   x 4 = A x 0 A x 0 = 1 26 , 615 . 5 - 1 ≈ 0,969 - 0,194

A x 4 ≈ 5 - 1 - 1 - 1 0,969 - 0,194 = 5,040 - 0,755                                   x 5 = A x 0 A x 0 = 1 26 , 000 . 5 - 1 ≈ 0,981 - 0,196

A x 5 ≈ 5 - 1 - 1 - 1 0,981 - 0,196 = 5,099 - 0,784

Passo 5

Continuando:

λ 1 = A x 1 . x 1   = A x 1 T . x 1 = 5,099 - 0,784 .   0,981 - 0,196 = 5,155  

λ 2 = A x 2 . x 2   = A x 2 T . x 2 = 5,0 40 - 0,7 75 .   0,969 - 0,194 = 5,034

λ 3 = A x 3 . x 3   = A x 3 T . x 3 = 5,099 - 0,784 .   0,981 - 0,196 = 5,155

λ 4 = A x 4 . x 4   = A x 4 T . x 4 = 5,040 - 0,775 .   0,969 - 0,194 = 5,034

λ 5 = A x 5 . x 5   = A x 5 T . x 5 = 5,099 - 0,784 .   0,981 - 0,196 = 5,155

Olha! Fica convergindo entre 5,155 e 5,034 , o que está entre o nosso autovalor!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que uma matriz simétrica A tenha autovalores distintos λ 1 = 8 ,λ 2 = 1,4 ,λ 3 = 2,3eλ 4 = - 8,1 . O que você pode dizer sobre a convergência dos quocientes de Rayleight
Encontre uma decomposição em valores singulares de A = 1 1 1 1
Encontre uma decomposição em valores singulares de A = 1 1 0 0 1 1
A e B são matrizes n × n e c é um número real. Quantos flops são necessários para calcular c A ?
A e B são matrizes n × n e c é um número real. Quantos flops são necessários para calcular A + B ?