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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 6

Mostre que os operadores F , G , H ∈ L R 2 dados por F ( x ,   y )   =   ( x ,   2 y ) , G ( x ,   y ) = ( y ,   x   +   y ) e H ( x ,   y )   =   ( 0 ,   x ) formam um conjunto   L . I em: L R 2 .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos escrever na forma de matriz porque aí não tem erro:

F ( x ,   y )   =   x , 2 y = x 1 0 + y 0 2 = 1 0 0 2

G ( x ,   y ) = y , x + y = x 0 1 + y 1 1 = 0 1 1 1

H ( x ,   y ) = 0 , x = x 0 1 + y 0 0 = 0 0 1 0

Passo 2

Para saber se é L . I , vamos fazer:

a 1 0 0 2 + b 0 1 1 1 + c 0 0 1 0 = 0 0 0 0

a 0 0 2 a + 0 b b b + c 0 0 c 0 = 0 0 0 0

a b b 2 a + b + c 0 0 c 0 = 0 0 0 0

a b b 2 a + b + c = 0 0 0 0

Agora vamos escrever em forma de sistema:

a = 0 b = 0 b = 0 2 a + b + c = 0

Temos que:

a = 0

b = 0

Substituindo a e b na quarta equação:

2 a + b + c = 0

2 ∙ 0 + 0 + c = 0

c = 0

Arrasamos!!!!!!

Até a próxima questão!!!

Resposta

Como a , b e c foram iguais a zero, logo F x , y ,   G x , y ,   H x , y formam um conjunto L . I .

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9 Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W=U+V. Todo vetor w c W se escreve, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v. Sendo P1 e P2 as projeções dadas por P1(w)=u e P2(w)=v, mostrar que: