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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.Exercícios Suplementares - Ex. 11

Encontre uma decomposição em valores singulares reduzida da matriz cuja decomposição em valores singulares é dada por:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 = 24 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 × 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3 - 1 3 2 3 2 3 .

Passo 1

Olá, tudo bem?

O exercício nos pede para encontrar uma decomposição em valores singulares reduzida da matriz cuja decomposição em valores singulares é dada por:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 - 1 2 - 1 2 = 24 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 × 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3 - 1 3 2 3 2 3 .

Você se lembra desse conteúdo? Se não, tá na hora de dar aquela revisão!

Se você tem dificuldade, vai aí uma dica valiosa, pesquise sobre ferramentas disponíveis que consigam te ajudar a efetuar alguns cálculos. Existem várias plataformas e softwares gratuitos. Afinal, a tecnogloia é nossa aliada!

Passo 2

Ao analisarmos as matrizes dada no enunciado, somos levados intuitamente na seguinte possibilidade: 12 0 6 4 - 8 10 4 - 8 10 12 0 6 = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 × 24 0 0 12 × 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3 .

E é exatamente a possibilidade acima que pretendemos investigar neste exercício.

Para isto, efetuaremos primeiramente o seguinte cálculo:

1 2 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 × 24 0 0 12 = 12 6 12 - 6 12 - 6 12 6 .

Passo 3

Dando contuinidade no produto das matrizes, no qual nos devemos sempre atentar quanto a ordem dos fatores, temos:

12 6 12 - 6 12 - 6 12 6 × 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3 = 12 × 2 3 + 6 × 2 3 12 × - 1 3 + 6 × 2 3 12 × 2 3 + 6 × - 1 3 12 × 2 3 - 6 × 2 3 12 × - 1 3 - 6 × 2 3 12 × 2 3 - 6 × - 1 3 12 × 2 3 - 6 × 2 3 12 × - 1 3 - 6 × 2 3 12 × 2 3 - 6 × - 1 3 12 × 2 3 + 6 × 2 3 12 × - 1 3 + 6 × 2 3 12 × 2 3 + 6 × - 1 3

= 8 + 4 - 4 + 4 8 - 2 8 - 4 - 4 - 4 8 + 2 8 - 4 - 4 - 4 8 + 2 8 + 4 - 4 + 4 8 - 2 = 12 0 6 4 - 8 10 4 - 8 10 12 0 6 .

Observe que o conteúdo base para a realização deste exercício é o produto de matrizes. Certo?

Resposta

Logo, concluímos que de fato,

12 0 6 4 - 8 10 4 - 8 10 12 0 6 = 1 2 1 2 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 × 24 0 0 12 × 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

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