Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular aos planos x + 2 y - 3 z + 2 = 0   e   2 x - y + 4 z - 1 = 0 .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, começamos lembrando que um plano paralelo tem o mesmo vetor diretor, e que a equação de um plano é dada por:

a x + b y + c z + d = 0

Onde o vetor diretor (vetor normal) é dado por:

N = a , b , c

Daí, temos que os vetores normais dos planos fornecidos são:

N 1 = 1 ,   2 ,   - 3   e   N 2 = 2 ,   - 1 ,   4

Como o plano desejado (um plano α) é perpendicular aos dois planos conhecidos, seus vetores normais são paralelos ao plano α que iremos encontrar. Dessa forma, o produto vetorial de N1 e N2 nos dará o vetor normal ao plano que estamos procurando, N:

N = i j k 1 2 - 3 2 - 1 4 = 8 i - 6 j - k - 4 k - 4 j - 3 i = 5 i - 10 j - 5 k   o u   N = ( 5 ,   - 10 ,   - 5 )

Até então temos a equação do plano desejado dada por:

α : 5 x - 10 y - 5 z + d = 0

Como o plano passa pelo ponto P fornecido no enunciado, podemos substituir seus valores nessa última equação e determinar o valor de d:

5 ∙ 2 - 10 ∙ 1 - 5 ∙ 0 + d = 0 = > 10 - 10 + d = 0 = > d = 0

O plano que procuramos tem equação dada por:

α : 5 x - 10 y - 5 z = 0

Resposta

5 x - 10 y - 5 z = 0 .

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