Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 15
Obtenha uma equação geral do plano que contém e é perpendicular a , e obtenha uma equação vetorial de .
Passo 1
Bom, o primeiro passo aqui é identificar o vetor normal do plano :
Assim, vamo chamar o vetor normal a de . Como os planos devem ser perpendiculares, os vetores normais devem ser ortogonais:
Assim,
Além disso, como a reta com vetor diretor devem pertencer ao plano, ele deve ser ortogonal ao vetor normal:
Portanto,
Por simplicidade, como estamos interessados apenas na direção, vamos usar
Passo 2
Assim, a equação do plano é
Como a reta deve estar no plano, o ponto também deve estar, de modo que
Portanto, a equação geral do plano é
Passo 3
Por fim, queremos a equação vetorial da intersecção , que deve ser uma reta. O vetor diretor dessa reta é o produto vetorial dos vetores normais dos planos:
Assim, a equação da reta é
Precisamos achar um ponto que pertença aos dois planos, isto é, satisfaça as duas equações:
Fazendo , obtemos
Somando as equações,
Portanto, o ponto pertence a reta, de modo que sua equação vetorial pode ser
Vale lembrar que essa resposta não é única!