Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 16
Escreva uma equação vetorial da reta concorrente com , paralela ao plano , e perpendicular à reta . São dados: , , , .
Passo 1
Queremos escrever as equação vetorial da reta que satisfaz várias condições. Vamos procurar primeiro o seu vetor diretor
Como a reta é paralela ao plano , deve ser ortogonal ao vetor normal do plano :
Assim,
Passo 2
Além disso, a reta deve ser perpendicular à reta , de modo que
Portanto,
Como só estamos interessados na direção, vamos adotar
Assim, a equação vetorial da reta é
Passo 3
O que falta agora é achar um ponto . Mas antes disso, vamos escrever a equação vetorial da reta :
Já para a reta :
E para a reta :
Como e são concorrentes, deve haver um ponto de encontro entre elas, de modo que
Vamos brincar um pouco com essas equações! Substituindo a segunda equação na primeira e na terceira:
Para eliminar , multiplicamos a primeira equação por e a segunda por :
Somando as equações, temos que
Vamos guardar essa equação.
Passo 4
Agora fazemos o mesmo só que entre as retas e :
Substituindo a terceira equação nas duas primeiras:
Multiplicando a primeira equação por e a segunda por :
Somando as equações,
Desta forma, vemos que o ponto deve satisfazer o sistema
Esse sistema representa uma reta de pontos, precisamos de apenas um! Por simplicidade, vamos escolher :
Multiplicando a primeira equação por e somando com a segunda:
Assim,
Portanto, um possível ponto é
Com ele, a equação da reta fica
A respostas do livro também é válida e o ponto usado nele também satisfaz o sistema que encontramos!