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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 31

Obtenha uma equção geral do plano que contém o ponto ( 2 ,   1 ,   0 ) e é perpendicular aos planos π 1 : x + 2 y - 3 z + 4 = 0 e π 2 : 8 x - 4 y + 16 z - 1 = 0 .

Passo 1

O primeiro passo é identificar os vetores normais dos planos π 1 e π 2 :

n → 1 = 1 ,   2 ,   - 3             e             n → 2 = ( 8 ,   - 4 ,   16 )

Vamos procurar agora o vetor n → = a ,   b ,   c do plano que queremos achar a equação. Ele deve ser ortogonal a n → 1 e n → 2 :

n → ⋅ n → 1 = 0 ⇒ a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   2 ,   - 3 = 0 ⇒ a + 2 b - 3 c = 0 ⇒ a = - 2 b + 3 c

Assim,

n → = ( - 2 b + 3 c ,   b ,   c )

Fazendo o produto com n → 2 :

- 2 b + 3 c ,   b ,   c ⋅ 8 ,   - 4 ,   16 = 0 ⇒ - 16 b + 24 c - 4 b + 16 c = 0

Assim,

- 20 b + 40 c = 0 ⇒ b = 2 c

Portanto,

n → = - 4 c + 3 c ,   2 c ,   c = c   ( - 1 ,   2 ,   1 )

Vamos usar

n → = ( 1 ,   - 2 ,   - 1 )

Passo 2

Com o vetor normal que achamos, a equação geral do plano fica

x - 2 y - z + d = 0

Substituindo o ponto P = ( 2 ,   1 ,   0 ) :

2 - 2 - 0 + d = 0 ⇒ d = 0

Assim, a equação do plano é

x - 2 y - z = 0

Resposta

x - 2 y - z = 0

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