Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 33
Obtenha uma equção geral do plano que contém e é perpendicular a , sendo
Passo 1
O problema quer que achemos a equação do plano que contém a reta dada pela intersecção dos planos , e que seja perpendicular a .
Vamos achar primeiro a equação vetorial da reta . Para isso, vamos achar duas soluções do sistema
Fazendo , obtemos . Portanto, já temos o ponto . Fazendo , obtemos , de modo que temos o segundo ponto . Como a reta está contida no plano que queremos achar, já sabemos que esses dois pontos pertecem ao plano! Isso vai ser importante no passo 3!
O vetor diretor da reta será
Assim, a equação dessa reta é
Por outro lado, o vetor normal ao plano é
Passo 2
Vamos procurar o vetor normal do plano. Ele deve ser perpendicular ao vetor normal a :
Portanto,
Além disso, como a reta encontrada no passo 1 está contida no plano, devemos ter :
Portanto,
Vamos usar
Passo 3
Com o vetor normal encontrado na passo 2, a equação do plano é do tipo
Vimos no passo 1 que os pontos e pertecem ao plano. Escolhendo e substituindo na equação:
Assim, a equação fica