Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 7
Encontre uma mudança de variáveis ortogonal que elimine os termos mistos da forma quadrática e expresse em termos das novas variáveis.
Passo 1
Temos que a forma quadrática associada a é
As entradas diagonais de são coeficientes quadrados e as entradas fora da diagonal são metade dos coeficientes de produtos cruzados, então, temos que
Colocando na forma matricial teremos
Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma
Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo
Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica
Cujas raízes são .
Passo 2
Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por
Na notação matricial fica sendo
Para o primeiro autovalor vamos obter o seguinte sistema
Faremos as seguintes operações com esse sistema
Obteremos o seguinte
Agora, faremos
E, assim, vamos encontrar
Por fim, faremos
Então, ficamos com
Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor
Passo 3
Para o segundo autovalor vamos proceder da mesma forma e oobteremos seguinte sistema
Faremos as seguintes operações, em sequência, com esse sistema
Então, ficamos com
Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor
Passo 4
Para o terceiro autovalor vamos proceder da mesma forma e oobteremos seguinte sistema
Faremos as seguintes operações, em sequência, com esse sistema
Então, ficamos com
Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor
Passo 5
Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos
Procedendo de maneira igual para teremos
Do mesmo jeito para teremos
Portanto, é diagonalizável pela matriz unitária
Passo 6
Agora, vamos utilizar o teorema que trata da mudança de variáveis fazendo
Assim, nossa nova forma quadrática vai ser dada por
Devemos lembrar que a matriz é diagonalizável por , além disso o resultado é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são exatamente os próprios autovalores, assim,
Dessa forma, temos nossa conta simplificada para
Por fim, temos que a forma quadrática desejada será dada por