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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 1

Encontre a matriz de T em relação à base B e use o Teorema 8.5.2 para calcular a matriz de T em relação à base B ' .

T : R 2 → R 2 é definido por

T x 1 x 2 = x 1 - 2 x 2 - x 2

e B = [ u 1 , u 2 ] e B ' = v 1 , v 2 , sendo

u 1 = 1 0 ,       u 2 = 0 1 ,       v 1 = 2 1 ,       v 2 = - 3 4

Passo 1

Vamos lembrar o Teorema 8.5.2:

Sejam T : V → V um operador linear do espaço vetorial V de dimensão finita e B e B ' bases de V . Então:

T B ' = P - 1 T B P

Sendo P = P B ' → B e P - 1 = P B → B '

Podemos reescrever T como:

T x 1 x 2 = x 1 - 2 x 2 - x 2 = 1 - 2 0 - 1 x 1 x 2

Para obtermos T B , vamos encontrar T ( u → 1 ) e T ( u → 2 ) por meio de:

T u → 1 = 1 - 2 0 - 1 1 0 = 1 0

T u → 2 = 1 - 2 0 - 1 0 1 = - 2 - 1

Assim T B pode ser escrita como:

T B = T u → 1 B T u → 2 B = 1 - 2 0 - 1

Passo 2

Podemos escrever v → 1 e v → 2 em relação à base B como:

v → 1 = 2 u → 1 + u → 2

v → 2 = - 3 u → 1 + 4 u → 2

Assim, a matriz de transição P pode ser escrita como:

P =   2 - 3 1 4

A sua inversa, P - 1 é dada por:

P - 1 = 1 2 ⋅ 4 - 1 ⋅ - 3 4 3 - 1 2 = 4 11 3 11 - 1 11 2 11

Passo 3

Agora, podemos calcular T B ' :

T B ' = 4 11 3 11 - 1 11 2 11 1 - 2 0 - 1 2 - 3 1 4

T B ' = - 3 11 - 56 11 - 2 11 3 11

Resposta

T B ' = - 3 11 - 56 11 - 2 11 3 11

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17. Sejam C e D matrizes m × n e B = v 1 , v 2 , … , v n uma base de um espaço vetorial V . Mostre que se C x B = D x B , qualquer que seja x em V , então C = D .
15. Seja λ um autovalor de um operador linear T : T → V . Prove que os autovetores de T associados a λ são os vetores não nulos no núcleo de λ I - T .
14. Seja T : M 22 → M 22 definido por: T a b c d = 2 c a + c b - 2 c d (a) Encontre os autovalores de T .(b) Encontre bases dos autoespaços de T .
19. Complete a prova dada justificando cada passo.Hipótese: A e B são matrizes semelhantes.Conclusão: A e B têm o mesmo polinômio característico.Prova: det ⁡ λ I - B = det ⁡ λ I - P - 1 A P = det ⁡ λ
16. (a) Prove que se A e B forem matrizes semelhantes, então A 2 e B 2 também são semelhantes. Mais geralmente, prove que A k e B k são semelhantes, qualquer que seja o inteiro positivo k .(b) Se A 2