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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 13

(Requer Cálculo) Seja V o espaço vetorial C 1 0 ,   1 e defina T : V → R por

T f = f 0 + 2 f ' 0 + 3 f ' ( 1 )

Verifique que T é uma transformação linear. Determine se T é injetora e justifique sua resposta.

Passo 1

Show de bolinhas galera, para verificar que T é uma transformação linear, precisamos provar a propriedade de homogeneidade e aditividade. E para determinar se T é injetora precisamos descobrir se existe alguma função f ≠ 0 que satisfaz T f = 0 , se existir, então nossa transformação não é injetora.

Passo 2

Verificando que T é linear, temos para aditividade

T f = f 0 + 2 f ' 0 + 3 f ' ( 1 )

T g = g 0 + 2 g ' 0 + 3 g ' ( 1 )

T g + f = g + f 0 + 2 g + f ' 0 + 3 ( g + f ) ' ( 1 )

T g + f = g 0 + f 0 + 2 g ' 0 + 2 f ' 0 + 3 g ' 1 + 3 f ' 1 = T g + T f

E para a homogeneidade temos

k T f = k f 0 + 2 f ' 0 + 3 f ' 1

T k f = k f 0 + 2 k f ' 0 + 3 k f ' 1 = k f 0 + 2 k f ' 0 + 3 k f ' 1

T k f = k f 0 + 2 f ' 0 + 3 f ' 1 = k T ( f )

Logo T é linear.

Passo 3

E agora para verificarmos se ela é injetora, vamos pegar por exemplo a função geral de P 2 , a x 2 + b x + c , então

T f = f 0 + 2 f ' 0 + 3 f ' ( 1 )

f = a x 2 + b x + c ⇒ f ' = 2 a x + b

T a x 2 + b x + c = a 0 + b 0 + c + 2 2 a 0 + b + 3 2 a 1 + b = c + 2 b + 6 a + 3 b

T a x 2 + b x + c = 6 a + 5 b + c

Ou seja, qualquer polinômio de P 2 da forma a x 2 + b x + c , em que 6 a + 5 b + c = 0 esstá no núcleo da transformação, o que faz com que n u l T ≠ 0 , portanto ela não é injetora.

Resposta

Não é injetora.

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