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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 11

Encontre uma matriz K tal que A K B = C sendo A = ([[1,4],[-,2,3],[1,-,2]]) , B = ([[2,0,0],[0,1,-,1]]) e

C = ([[8,6,-,6],[6,-,1,1],[-,4,0,0]])

Passo 1

Primeiro, temos que achar a dimensão da matriz K para que a matriz resultante C tenha dimensão 3 xx 3 .

Assim, se A tem dimensão 3 xx 2 , K deve ter 2 xx n para que a condição de produto seja definida.

Agora, sabendo que a matriz A K terá dimensão 3 xx n , para que seja multiplicável com B de dimensão 2 xx 3 , então n = 2 .

Portanto, K tem dimensão 2 xx 2 .

Passo 2

Agora, generalizando a matriz K da forma K = ([[a,b],[c,d]]) vamos realizar o primeiro produto A K :

A K = ([[1,4],[-,2,3],[1,-,2]]) . ([[a,b],[c,d]])

A K = ([[(1 xx a),+,(,4,xx,c,),(1 xx a),+,(,4,xx,d,)],[(( - 2 ) xx a),+,(,3,xx,c,),(( - 2 ) xx a),+,(,3,xx,d],[(1 xx a),+,(,(,-,2,),xx,c,),(1 xx a),+,(,(,-,2,),xx,d]])

A K = ([[a,+,4,c,b,+,4,d],[-,2,a,+,3,c,-,2,d,+,3,d],[a,-,2,c,b,-,2,d]])

Passo 3

Agora, vamos fazer o segundo produto A K . B :

(A K) . B = ([[a,+,4,c,b,+,4,d],[-,2,a,+,3,c,-,2,d,+,3,b],[a,-,2,c,b,-,2,d]]) ([[2,0,0],[0,1,-,1]])

([[2,(a + 4 c),+,0,(,b,+,4,d,),0,(a + 4 c),+,1,(,b,+,4,d,),0,(a + 4 c),+,(,-,1,),(,b,+,4,d,)],[2,(- 2 a + 3 c),+,0,(,-,2,d,+,3,b,),0,(- 2 a + 3 c),+,1,(,-,2,d,+,3,b,),0,(- 2 a + 3 c),+,(,-,1,),(,-,2,d,+,3,b,)],[2,(a - 2 c),+,0,(,b,-,2,d,),0,(a - 2 c),+,1,(,b,-,2,d,),0,(a - 2 c),+,(,-,1,),(,b,-,2,d,)]])

(A K) . B = ([[2,a,+,8,c,b,+,4,d,-,b,-,4,d],[-,4,a,+,6,c,-,2,b,+,3,d,2,d,-,3,b],[2,a,-,4,c,b,-,2,d,2,d,-,b]])

Passo 4

Agora, vamos igualar a matriz (A K) . B à matriz C

(A K) . B = C

([[2,a,+,8,c,b,+,4,d,-,b,-,4,d],[-,4,a,+,6,c,-,2,b,+,3,d,2,d,-,3,b],[2,a,-,4,c,b,-,2,d,2,d,-,b]]) = ([[8,6,-,6],[6,-,1,1],[-,4,0,0]])

Assim, obtemos as equações:

[[2,a,+,8,c,=,8],[-,4,a,+,6,c,=,6],[2,a,-,4,c,=,-,4]] [[b,+,4,d,=,6],[-,2,b,+,3,d,=,-,1],[b,-,2,d,=,0]] [[-,b,-,4,d,=,-,6],[2,d,-,3,b,=,1],[2,d,-,b,=,0]]

Passo 5

Vemos que há muitas equações repetidas. Portanto, para acharmos os quatro parâmetros, vamos resolver 2 a + 8 c = 8 e - 4 a + 6 c = 6 em pares. Depois, b + 4 d = 6 e b - 2 d = 0 .

Assim:

[[2,a,+,8,c,=,8,],[-,4,a,+,6,c,=,6]] underset(2 E_1 + E_2)(->) 22 c = 22 :. c = 1

2 a + 8 c = 8 -> 2 a + 8 (1) = 8

2 a + 8 = 8

2 a = 0 :. a = 0

E:

[[b,+,4,d,=,6,],[b,-,2,d,=,0]] underset(E_1 - E_2)(->) 6 d = d :. d = 1

b - 2 d = 0 -> b - 2 ( 1 ) = 0

b - 2 = 0 :. b = 2

Passo 6

Agora, é colocar os parâmetros na matriz K :

K = ([[0,2],[1,1]])

Resposta

K = ([[0,2],[1,1]])

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