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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 10

Para qual(is) valor(es) de a o sistema x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 3 = 2 a 2 - 4 x 3 = a - 2 tem zero, uma ou uma infinidade de soluções?

Passo 1

Primeiramente, devemos escrever o sistema x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 3 = 2 a 2 - 4 x 3 = a - 2 como uma matriz aumentada e escaloná-la. Assim:

1 0 0 1 0 0 1 1 ( a 2 - 4 ) 4 2 a - 2

1 0 0 1 0 0 1 1 ( a 2 - 4 ) 4 2 a - 2       → L 1 → L 1 - L 2         1 0 0 1 0 0 0 1 ( a 2 - 4 ) 2 2 a - 2

1 0 0 1 0 0 0 1 ( a 2 - 4 ) 2 2 a - 2       → L 2 ↔ L 3         1 0 0 1 0 0 0 ( a 2 - 4 ) 1 2 a - 2 2

1 0 0 1 0 0 0 ( a 2 - 4 ) 1 2 a - 2 2       → L 2 → 1 a 2 - 4 L 2         1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 ( a - 2 ) / ( a 2 - 4 ) 2

Quando analisamos a 2 - 4 vemos que podemos separá-lo segundo uma relação matemática de diferença entre quadrados:

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

Portanto, como 2 2 = 4 , a 2 - 4 = a 2 - 2 2 = ( a - 2 ) ( a + 2 )

Assim,

1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 ( a - 2 ) / ( a - 2 ) ( a + 2 ) 2       →         1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 ( a - 2 ) / ( a - 2 ) ( a + 2 ) 2

1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 ( a - 2 ) / ( a - 2 ) ( a + 2 ) 2         →           1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 / ( a + 2 ) 2

Pronto, a matriz escalonada é:

1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 / ( a + 2 ) 2

Passo 2

Agora, quando analisamos a matriz 1 0 0 1 0 0 1 1 ( a 2 - 4 ) 4 2 a - 2 , se adotarmos a = 2 , temos

1 0 0 1 0 0 1 1 0 4 2 0 , então:

x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 3 = 2

Logo, x 1 + x 2 + 2 = 4       →         x 1 = 2 - x 2 . Ou seja, temos uma variável livre podendo dar infinitas soluções. Portanto, se a = 2 , temos infinitas soluções.

Passo 3

Agora, quando analisamos a matriz 1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 / ( a + 2 ) 2 temos:

x 3 = 1 a + 2 x 3 = 2

Substituindo x 3 na primeira equação, temos:

2 = 1 a + 2

2 a + 4 = 1

2 a = 1 - 4

2 a = - 3

a = - 3 4

Logo, se a = - 3 4 , o sistema terá duas linhas iguais. Então, para a = - 3 4 , também infinitas soluções.

Passo 4

Se tornarmos a ≠ 2 e a ≠ - 3 4 , vamos restringir o parâmetro a ponto de termos duas equações diferentes para a incógnita x 3 que precisa x 3 = 2 . Assim, o sistema não possui soluções.

Passo 5

Como os valores de a para que o sistema tenha uma solução coincidem com o valor encontrado para x 3 , o sistema não possui apenas uma única solução.

Resposta

  • Para que o sistema tenha infinitas soluções:

    • a = 2 e a = - 3 4

  • Para que não possua soluções:

    • a ≠ 2 e a ≠ - 3 4

  • O sistema não possui apenas uma única solução.
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