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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 14

Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P .

A = 3 - i i 3

Passo 1

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 3 - i i 3 = det ⁡ λ - 3 i - i λ - 3

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 - 6 λ + 8

Cujas raízes são λ 1 = 2   e   λ 2 = 4

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 3 i - i λ - 3 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 2 vamos obter o seguinte sistema

- 1 i - i - 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

T r o c a r   a   L 1   e   L 2 ,   L 2 + i L 1 → L 2

- i - 1 0 0 → i L 1 → L 1 → 1 - i 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 - i 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 - i x 2 = 0 → x 1 = i x 2

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

i 1

Passo 3

Agora, para λ 2 = 4 vamos proceder da mesma forma e obteremos

1 i - i 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

- 1 - i i - 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, nesse caso, as seguintes operações

T r o c a r   a   L 1   c o m   a   L 2   u m a   l i n h a   f i c a   n o   l u g a r   d a   o u t r a ,   L 2 - i L 1 → L 2

Então, obtemos

i - 1 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

- i L 1 → L 1

1 i 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

→ x 1 + i ⋅ x 2 = 0 → x 1 = - i x 2

Sendo assim, nosso auto vetor associado ao autovalor λ = 4 será

- i 1

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 | i | 2 + | 1 | 2 ⋅ i 1 = 1 2 ⋅ i 1 = i 2 1 2  

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 | - i | 2 + | 1 | 2 ⋅ - i 1 = 1 2 ⋅ - i 1

v 2 = - i 2 1 2

Portanto, A é diagonalizável pela matriz unitária

P = i 2 - i 2   1 2 1 2

Ainda conseguimos encontrar a matriz P - 1 fazendo

P - 1 = 1 det ⁡ P ⋅ a d j   P = - i 2 2 1 2   i 2 2 1 2

Passo 5

Finalmente, para concluirmos o nosso exercício vamos calcular P - 1 A P fazendo

P - 1 A P = - i 2 2 1 1   i 2 2 1 2 ⋅ 3 - i i 3 ⋅ i 2 - i 2   1 2 1 2

Lembrando que a multiplicação de matrizes se dá fazendo linha vezes coluna vamos obter o seguinte

P - 1 A P = - i 2   2 2 i 2 2 2 ⋅ i 2 - i 2   1 2 1 2

P - 1 A P = 2 0 0 4

Resposta

P = i 2 - i 2   1 2 1 2 , P - 1 A P = 2 0 0 4  

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