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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 26b

Em cada parte encontre a inversa da matriz 4 × 4 dada, em que k 1 , k 2 ,   k 3 ,   k 4 e k são todos não nulos.

k 0 0 0 1 k 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k

Passo 1

Utilizando o método do Exemplo 4 desta seção, conhecido também como as operações elementares têm-se:

k 0 0 0 1 k 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k 1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1     L 1 → L 1 k     ~

1 0 0 0 1 k 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k 1 k 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1   L 2 → L 2 - L 1 ~

1 0 0 0 0 k 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1 L 2 → L 2 k   ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   1 k 0 0 0 1 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1   L 3 → L 3 - L 2 ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 k 0 0 0 1 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 2 - 1 / k 1 0 0 0 0 1   L 3 → L 3 k ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 1 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k 0 0 0 0 1   L 4 → L 4 - L 3 ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 k 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k 0 - 1 / k 3 1 / k 2 - 1 / k 1   L 4 → L 4 k ~

1 0 0 0 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1 1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k 0 - 1 / k 4 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k

É importante ressaltar que, só conseguimos efetuar a operação L i / k i ,   porque no enunciado foi dado que k i ≠ 0 ,   i = 1,2 , 3,4 .  

Resposta

Logo, a inversa é dada por:

1 / k 0 0 0 - 1 / k 2 1 / k 0 0 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k 0 - 1 / k 4 1 / k 3 - 1 / k 2 1 / k .

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