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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 7

Encontre matrizes elementares E 1 , ..., E k tais que A = E 1 ... E k , para

A = 1 2 3 2 1 2 0 1 2

Passo 1

E aí, aluno? Beleza? Vamos para mais uma resolução:

Para essa questão, vamos montar uma matriz aumentada da forma

A I n

E a nossa intenção é realizar operações elementares que nos levem a uma matriz

I n B

Em que B é uma matriz do mesmo tamanho de A, obtida a partir da matriz identidade através das operações realizadas.

Passo 2

Montando a matriz:

1 2 3 2 1 2 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Escalonando:

1 2 3 2 1 2 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 → L 2 - 2 L 1

1 2 3 0 - 3 - 4 0 1 2 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1 L 3 ↔ L 2

1 2 3 0 1 2 0 - 3 - 4 1 0 0 0 0 1 - 2 1 0 L 1 → L 1 - 2 L 2 ,   L 3 → L 3 + 3 L 2

1 0 - 1 0 1 2 0 0 2 1 0 - 2 0 0 1 - 2 1 3 L 3 → 1 2 L 3

1 0 - 1 0 1 2 0 0 1 1 0 - 2 0 0 1 - 1 1 2 3 2 L 1 → L 1 + L 3 ,   L 2 → L 2 - 2 L 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 - 1 2 2 - 1 - 2 - 1 1 2 3 2

Passo 3

Dessa forma, as matrizes necessárias para que A = E 1 ... E k são:

E 1 =   1 0 0 2 1 0 0 0 1

E 2 =   1 0 0 0 0 1 0 1 1

E 3 =   1 2 0 0 1 0 0 0 1

E 4 =   1 0 0 0 1 0 0 - 3 1

E 5 =   1 0 0 0 1 0 0 0 2

E 6 =   1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

E 7 =   1 0 0 0 1 2 0 0 1

Resposta

Resposta no passo 3!!

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Mostre que, se A = 1 0 0 0 1 0 a b c For uma matriz elementar, então pelo menos uma das entradas da terceira linha deve ser nula.
Em cada parte encontre a inversa da matriz 4 × 4 dada, em que k 1 , k 2 ,k 3 ,k 4 e k são todos não nulos. k 1 0 0 0 0 k 2 0 0 00 k 3 0 0 0 0 k 4
Em cada parte encontre a inversa da matriz 4 × 4 dada, em que k 1 , k 2 ,k 3 ,k 4 e k são todos não nulos. 0 0 0 k 1 0 0 k 2 0 0k 3 0 0 k 4 0 0 0
Escreva a matriz dada como um produto de matrizes elementares. 1 0 - 2 0 4 3 0 0 1