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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 31

Escreva a matriz dada como um produto de matrizes elementares.

1 0 - 2 0 4 3 0 0 1  

Passo 1

Pensando no caminho inverso, vamos provar que a matriz 1 0 - 2 0 4 3 0 0 1 pode ser decomposta no produto dado por:

1 0 - 2 0 4 3 0 0 1 = 1 0 - 2 0 1 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 3 0 0 1 × 1 0 0 0 4 0 0 0 1

Passo 2

Assim, vamos fazer o cálculo de 1 0 - 2 0 1 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 3 0 0 1 × 1 0 0 0 4 0 0 0 1 .  

Primeiramente, vamos calcular 1 0 - 2 0 1 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 3 0 0 1 .  

Assim,

1 0 - 2 0 1 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 3 0 0 1

= 1 × 1 + 0 × 0 + - 2 × 0 1 × 0 + 0 × 1 + - 2 × 0 1 × 0 + 0 × 3 + - 2 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 0 × 0 0 × 0 + 1 × 1 + 0 × 0 0 × 0 + 1 × 3 + 0 × 1 0 × 1 + 0 × 0 + 1 × 0 0 × 0 + 0 × 1 + 1 × 0 0 × 0 + 0 × 3 + 1 × 1

=   1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 - 2 0 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 3 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1 = 1 0 - 2 0 1 3 0 0 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto 1 0 - 2 0 1 3 0 0 1 × 1 0 0 0 4 0 0 0 1 .  

Basta observar que:

1 0 - 2 0 1 3 0 0 1 × 1 0 0 0 4 0 0 0 1

= 1 × 1 + 0 × 0 + - 2 × 0 1 × 0 + 0 × 4 + - 2 × 0 1 × 0 + 0 × 0 + - 2 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 3 × 0 0 × 0 + 1 × 4 + 3 × 0 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 0 × 1 + 0 × 0 + 1 × 0 0 × 0 + 0 × 4 + 1 × 0 0 × 0 + 0 × 0 + 1 × 1

= 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 - 2 0 + 0 + 0 0 + 4 + 0 0 + 0 + 3 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1

=   1 0 - 2 0 4 3 0 0 1 .

Resposta

Logo, conclui-se a fatoração:

1 0 - 2 0 4 3 0 0 1 = 1 0 - 2 0 1 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 3 0 0 1 × 1 0 0 0 4 0 0 0 1 .

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