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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 10b

Mostre que se ad – bc ≠ 0, então o sistema linear

a x + b y = g c x + d y = h

tem solução

x = g d - b h a d - b c , y = a h - g c a d - b c

Passo 1

Vamos começar mais uma resolução!!

Esse é um sistema simples, de apenas duas equações, então podemos resolvê-lo multiplicando a primeira equação por – c a , por exemplo:

- c x - b c a y = - g c a c x + d y = h

Passo 2

Realizando a soma da primeira equação com a segunda:

c x + d y - c x - b c a y = h - g c a

d y - b c a y = h - g c a

y d - b c a = a h - g c a

y a d - b c a = a h - g c a

Isolando y:

y = a h - g c a ∙ a a d - b c

y = a h - g c a d - b c

Passo 3

Substituindo y em alguma das duas equações, podemos encontrar a solução de x:

a x + b a h - g c a d - b c = g

a x + a b h - b g c a d - b c = g

a x = g - a b h - b g c a d - b c

a x =   a d g - a b h a d - b c

Isolando x:

x =   d g - b h a d - b c

Resposta

Demonstração ao longo dos passos da resolução.

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Mostre que se B é uma matriz invertível, então A B - 1 = B - 1 A se, e somente se, A B = B A . (Sugestão: multiplique a equação A B = B A por B - 1 ).
Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz nxm , com n A B não é invertível. (Sugestão: Mostre que o sistema A B X = 0 tem solução não trivial.)
Sejam A e B matrizes nxn . Mostre que se B não é invertível, então A B também não o é.
Seja J n a matriz nxn , cujas entradas são iguais a 1. Mostre que se n1 , então I n - J n - 1 = I n - 1 n - 1 J n
Sejam U 1 , U 2eU 3 três vetores unitários mutuamente ortogonais. Se A = [ U 1 , U 2 , U 3 ] é uma matriz 3 x 3 cujas colunas são os vetores U 1 , U 2eU 3 , então A é invertível e A - 1 = A t .