Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 18
Mostre que se A e B são matrizes nxn, invertíveis, então A e B são equivalentes por linhas.
Passo 1
Primeiro, temos que saber das propriedades matriciais que o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, .
Assim, podemos escrever o produto como:
Passo 2
Sabemos que para encontrar a inversa de uma matriz A, um dos processos realizados é escrita de uma matriz aumentada com A e a matriz identidade, de forma:
E, por meio da realização de operações elementares, transforma-se a matriz A em e a matriz antiga torna-se a matriz desejada. Esse processo implica que A e são equivalentes por linhas.
Passo 3
O mesmo raciocínio feito para A pode ser aplicado para uma matriz B invertível. Se B é invertível, então B é equivalente por linhas à matriz identidade.
Como A e B são equivalentes por linhas a uma mesma matriz, A e B são equivalentes por linhas entre si.
Resposta
Demonstração ao longo dos passos.