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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 15

Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P .

A = 6 2 + 2 i 2 - 2 i 4

Passo 1

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 6 2 + 2 i 2 - 2 i 4 = det ⁡ λ - 6 - 2 + 2 i - 2 - 2 i λ - 4

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 - 10 λ + 16

Cujas raízes são λ 1 = 8   e   λ 2 = 2

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 6 - 2 - 2 i - 2 + 2 i λ - 4 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 8 vamos obter o seguinte sistema

2 - 2 - 2 i - 2 + 2 i 4 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

T r o c a r   a   L 1   e   L 2 ,   L 2 + - 1 2 - i 2 ⋅ L 1 → L 2

→ - 2 + 2 i 4 0 0

Fazendo - 1 4 - i 4 ⋅ L 1 → L 1 vamos ter

→ 1 - 1 - i 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 - 1 - i 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 + ( - 1 - i ) x 2 = 0 → x 1 = 1 + i x 2

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

1 + i 1

Passo 3

Agora, para λ 2 = 2 vamos proceder da mesma forma e obteremos

- 4 - 2 - 2 i - 2 + 2 i - 2 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, nesse caso, as seguintes operações

T r o c a r   a   L 1   c o m   a   L 2   u m a   l i n h a   f i c a   n o   l u g a r   d a   o u t r a ,   L 2 - 1 + i L 1 → L 2

Então, obtemos

- 2 + 2 i - 2 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

→ - 1 4 - i 4 L 1 → L 1

1 1 2 + i 2 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

→ x 1 + 1 2 + i 2 ⋅ x 2 = 0 → x 1 = - 1 2 - i 2 ⋅ x 2

Sendo assim, nosso auto vetor associado ao autovalor λ = 2 será

- 1 2 - i 2 1

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 | 1 + i | 2 + | 1 | 2 ⋅ 1 + i 1 = 1 3 ⋅ 1 + i 1 = 1 + i 3 1 3  

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 - 1 2 - i 2 2 + | 1 | 2 ⋅ - 1 2 - i 2 1 = 3 2 ⋅ - 1 2 - i 2 1

v 2 = - 6 4 - i 6 4 3 2

Portanto, A é diagonalizável pela matriz unitária

P = 1 + i 3 - 6 4 - i 6 4 1 3 3 2

Ainda conseguimos encontrar a matriz P - 1 fazendo

P - 1 = 1 det ⁡ P ⋅ a d j   P = 3 3 - i 3 3 1 3   - 6 9 + i 6 9 2 2 3 3

Passo 5

Finalmente, para concluirmos o nosso exercício vamos calcular P - 1 A P fazendo

P - 1 A P = 1 + i 3 - 6 4 - i 6 4 1 3 3 2 ⋅ 6 2 + 2 i 2 - 2 i 4 ⋅ 3 3 - i 3 3 1 3   - 6 9 + i 6 9 2 2 3 3

Lembrando que a multiplicação de matrizes se dá fazendo linha vezes coluna vamos obter o seguinte

P - 1 A P = 8 3 3 - 8 i 3 3   8 3 - 2 6 9 + i 2 6 9 4 2 3 3 ⋅ i 2 - i 2   1 2 1 2

P - 1 A P = 8 0 0 2

Resposta

P = 1 + i 3 - 6 4 - i 6 4 1 3 3 2 , P - 1 A P = 8 0 0 2

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