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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 22

Mostre que A não é anti-hermitiana, qualquer que seja a escolha dos sinais × .

a   A = i × 2 - 3 i × 0 1 + i 2 + 3 i - 1 - i ×

b   A = 0 - i 4 + 7 i × 0 × - 4 - 7 i × 1

Passo 1

Vamos substituir os nossos símbolos de × por um número complexo genérico x + i y , então, vamos obter a seguinte matriz

i x 1 + i y 1 2 - 3 i x 2 + i y 2 0 1 + i 2 + 3 i - 1 - i x 3 + i y 3

Teremos que nossa matriz A será anti-hermitiana se A * = - A , onde A * = A - T . Sendo assim, vamos primeiramente encontrar A - que será

A - = - i x 1 - i y 1 2 + 3 i x 2 - i y 2 0 1 - i 2 - 3 i - 1 + i x 3 - i y 3

Agora, vamos encontrar A - T que é a transposta da matriz acima, então, teremos

A - T = - i x 2 - i y 2 2 - 3 i x 1 - i y 1 0 - 1 + i 2 + 3 i 1 - i x 3 - i y 3

Como dito acima vamos ter que para a matriz ser anti-hermitiana devemos ter A - T = - A . Dessa forma, façamos a comparação e vamos encontrar

A - T = - A

- i x 2 - i y 2 2 - 3 i x 1 - i y 1 0 - 1 + i 2 + 3 i 1 - i x 3 - i y 3 = - i x 1 + i y 1 2 - 3 i x 2 + i y 2 0 1 + i 2 + 3 i - 1 - i x 3 + i y 3

Como temos que a 23 - ≠ - a 23   e   a 32 - ≠ - a 32 nossa matriz é não hermitiana.

Passo 2

Procedendo da mesma forma para a segunda matriz vamos ter

A = 0 - i 4 + 7 i x 1 + i y 1 0 x 2 + i y 2 - 4 - 7 i x 3 + i y 3 1

Assim, teremos que A - será dada por

A - = 0 i 4 - 7 i x 1 - i y 1 0 x 2 - i y 2 - 4 + 7 i x 3 - i y 3 1

Então, a matriz A - T será a seguinte

A - T = 0 x 1 - i y 1 - 4 + 7 i i 0 x 3 - i y 3 4 - 7 i x 2 - i y 2 1

Comparando, agora ambas as matrizes vamos ter que

0 x 1 - i y 1 - 4 + 7 i i 0 x 3 - i y 3 4 - 7 i x 2 - i y 2 1 = - 0 - i 4 + 7 i x 1 + i y 1 0 x 2 + i y 2 - 4 - 7 i x 3 + i y 3 1

Como temos que a 1 3 = a 1 3 - ,   a 3 1 = a 31 -   temos que a matriz é não anti-hermitiana.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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