27 Encontre todos os escalares c1, c2, c3 tais que

c 1 1 ,   - 1 ,   0 + c 2 3 ,   2 ,   1 + c 3 0 ,   1 ,   4 = - 1 ,   1 ,   19

Passo 1

Vamos multiplicar esses escalares. Quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

c 1 1 ,   - 1 ,   0 = c 1 ,   - c 1 ,   0

c 2 3 ,   2 ,   1 = 3 c 2 ,   2 c 2 ,   c 2

e

c 3 0 ,   1 ,   4 = 0 ,   c 3 ,   4 c 3

Substituindo tudo na equação dada:

c 1 ,   - c 1 ,   0 + 3 c 2 ,   2 c 2 ,   c 2 + 0 ,   c 3 ,   4 c 3 = - 1 ,   1 ,   19

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos, temos:

c 1 ,   - c 1 ,   0 + 3 c 2 ,   2 c 2 ,   c 2 + 0 ,   c 3 ,   4 c 3 = - 1 ,   1 ,   19

c 1 + 3 c 2 ,   - c 1 + 2 c 2 + c 3 ,   c 2 + 4 c 3 = - 1 ,   1 ,   19

Vamos montar uma equação para cada um desses termos:

c 1 + 3 c 2 = - 1 - c 1 + 2 c 2 + c 3 = 1 c 2 + 4 c 3 = 19

Passo 3

Da primeira equação nós tiramos que:

c 1 + 3 c 2 = - 1

Isolando c 1 :

c 1 = - 1 - 3 c 2

E da terceira equação nós tiramos que:

c 2 + 4 c 3 = 19

Isolando c 3 :

4 c 3 = 19 - c 2

c 3 = 1 4 19 - c 2

c 3 = 19 4 - c 2 4

Subtituindo esses dois resultados na segunda equação:

- c 1 + 2 c 2 + c 3 = 1

- - 1 - 3 c 2 + 2 c 2 + 19 4 - c 2 4 = 1

Isolando o c 2 :

1 + 3 c 2 + 2 c 2 + 19 4 - c 2 4 = 1

19 4 c 2 = - 19 4

c 2 = - 1

Subtituindo na primeira equação:

c 1 + 3 ⋅ - 1 = - 1

c 1 = 2

E substituindo na terceira equação:

- 1 + 4 c 3 = 19

4 c 3 = 20

c 3 = 5

Resposta

c 1 = 2

c 2 = - 1

c 3 = 5

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