Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.7 - Ex. 40
40. Encontre todos os valores de a, b, c e d com os quais A é antissimétrica.
Passo 1
Para uma matriz ser antissimétrica ela deve ser igual a sua matriz transposta negativa:
Quando nós calculamos a transposta, os termos da diagonal principal não se alteram, logo todos esses termos devem ser iguais a zero, observe a seguinte matriz:
Escrevendo a transposta:
Aplicando o sinal negativo na matriz:
Obtemos sempre a mesma equação dos termos da diagonal principal:
Ou seja, esses três termos sempre valem zero:
Portando .
Passo 2
Aplicando a matriz nessa igualdade:
Escrevendo a transposta:
Aplicando o sinal negativo na matriz:
Montando as equações:
E como tínhamos dito no passo anterior:
Passo 3
Agora precisamos resolver aquele sistema. Perceba que a 3ª equação é igual a 1ª mais a 2ª:
Ou seja, podemos usar somente as duas primeiras equações, já que a terceira não vai mudar em nada nossa resposta.
Para tirar pelo menos uma das incógnitas da segunda equação, vamos multiplicar a primeira por -5 e somar na segunda equação, dessa forma o vai sumir da segunda equação:
Vamos definir o como a variável livre, então vamos isolar o para saber quanto ele vale em função do :
Agora precisamos do valor de , vamos usar a primeira equação para isso:
Então a solução para esse sistema é:
Para qualquer valor de .
Resposta
Para qualquer valor de .