Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 4

Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição,

x ²   +   y ²     =   1  

e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.

5 x ²   +   5 x y

Passo 1

Essa questão é mamão com açúcar! Pega na minha mão que eu te mostro o caminho, primeiro vamos colocar a equação nesse formato aqui:

x T A x

Onde:

x = x 1   x 2

e A :

A =   5 5 2 5 2 5

Na verdade cagamos pro x porque quem vai nos ajudar a matar a questão é a matriz A . Você pode estar se perguntando da onde eu tirei esse A , então vou explicar:

Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de x 2 e y 2 , respectivamente, ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Isso quer dizer que a 11 = 5 , a 22 = 5 .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto x y , ou seja, 5 2 .

Passo 2

Bom pra matar essa questão precisamos de duas coisas: dos autovalores e dos autovetores da matriz A. Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

d e t   λ I - A = 0  

Bora calcular esse negócio juntos! d e t   λ 0 0 λ - 5 5 2 5 2 5   = 0

4 λ 2 - 20 λ   - 25 = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

4 λ 2 - 20 λ   - 25 = 0

Bom, pra resolver isso daí vamos usar Bhaskara mesmo, se liga:

λ 1,2 = 20 ± 400 + 400 2

Portanto,

λ 1 = 5 ( 1 + 2 ) 2

λ 2 = 5 ( 1 - 2 ) 2

Passo 4

Agora conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:

λ I - A x = 0

Portanto, para λ 1 = 5 ( 1 + 2 ) 2 temos:

x 1 = 1 + 2 1

Portanto, para λ 2 = 5 ( 1 - 2 ) 2 temos:

x 1 = 1 - 2 1

Passo 5

É isso galera, encontramos os autovetores, agora precisamos normalizar ambos! Então, normalizando o vetor x 1 , temos:

u 1 = x 1 ‖ x 1 ‖ = 1 + 2 4 + 2 2 1 4 + 2 2

Normalizando o vetor x 2 , temos:

u 2 = x 2 ‖ x 2 ‖ = 1 - 2 4 - 2 2 1 4 - 2 2

Portanto, o nosso máximo condicionado é λ 1 = 5 ( 1 + 2 ) 2 (nosso maior autovalor) e ocorre quando ( x ,   y )   =   ( 1 + 2 4 + 2 2 , 1 4 + 2 2 ) e o nosso mínimo condicionado é λ 2 = 5 ( 1 - 2 ) 2 (nosso menor autovalor) e ocorre quando ( x , y )   =   ( 1 - 2 4 - 2 2 ,     1 4 - 2 2 ) !

Resposta

Nosso máximo condicionado é λ 1 = 5 ( 1 + 2 ) 2 (nosso maior autovalor) e ocorre quando ( x ,   y )   =   ( 1 + 2 4 + 2 2 , 1 4 + 2 2 ) e o nosso mínimo condicionado é λ 2 = 5 ( 1 - 2 ) 2 (nosso menor autovalor) e ocorre quando ( x , y )   =   ( 1 - 2 4 - 2 2 ,     1 4 - 2 2 ) !

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição x² + y² = 1 e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos. x y
7. Classifique a forma quadrática x 1 2 - 3 x 1 x 2 + 4 x 2 2 Como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva.
6. Em cada caso, expresse a forma quadrática em notação matricial x T A x .(a) - 4 x 1 2 + 15 x 2 2 - 15 x 1 x 2 (b) 9 x 1 2 - x 2 2 + 4 x 3 2 + 6 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 + x 2 x 3
Encontre uma mudança de variáveis ortogonal que elimine os termos mistos da forma quadrática Q e expresse Q em termos das novas variáveis. Q = 2 x 1 2 + 2 x 2 2 - 2 x 1 x 2
Encontre uma mudança de variáveis ortogonal que elimine os termos mistos da forma quadrática Q e expresse Q em termos das novas variáveis. Q = 5 x 1 2 + 2 x 2 2 + 4 x 3 2 - 4 x 1 x 2