Seja V o espaço vetorial gerado por f 1 = s e nx e f 2 = cos ⁡ x .a) Mostre que g 1 = 2s e nx + cos ⁡ x e g 2 = 3 cos ⁡ x formam uma base de V .a) Encontre a matriz de transição de B ' = g 1 ,g 2 para B = f 1 ,f 2 .b) Encontre a matriz de transição de B para B ' .c) Calcule o vetor de coordenadas h B , em que h = 2s e nx - 5 cos ⁡ x , e use (12) para calcular h B ' .d) Confira seu trabalho calculando h B ' diretamente.

P B ' → B = 2 0 1 3 P B → B ' = 1 / 2 0 - 1 / 6 1 / 3 h B = 2 - 5 h B ' = 1 - 2

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 11

Seja o espaço vetorial gerado por e .

a) Mostre que e formam uma base de .

a) Encontre a matriz de transição de para .

b) Encontre a matriz de transição de para .

c) Calcule o vetor de coordenadas , em que , e use (12) para calcular .

d) Confira seu trabalho calculando diretamente.

Passo 1

O primeiro passo nesse problema é mostrar que e formam uma base para , que é gerado por e .

Note que

Portanto, como e são escritos como combinações lineares de e , temos que também é gerado por e . Além disso, como e são LI, vemos que e também são LI. Como é um conjunto gerador LI para , ele é uma base de .

Assim podemos definir as bases e . Com isso, podemos escrever

Agora, basta colocar essas coordenadas nas colunas da matriz

Passo 2

No item (b), queremos achar . Para isso, basta inverter a matriz achada no item (a). Como a matriz é , vamos usar o truque:

Lembre-se que esse truque só vale para matrizes . Assim, achamos a inversa rapidinho:

Assim,

Passo 3

Agora vamos para o item (c). O enunciado forneceu o vetor (função)

Note que podemos escrever

Portanto,

Para achar , usamos

Logo,

Fazendo o produto de matrizes:

Ou ainda,

Passo 4

No item (d) temos que confirmar que nosso resultado do item (c) está correto. Para isso, usamos que

Portanto,

Vemos que as contas estão certas 😊

Resposta

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Seja T : P 2 → P 3 a transformação linear definida por T p x = x p ( x - 3 ) , ou seja, T c 0 + c 1 x + c 1 x 2 = x ( c 0 + c 1 x - 3 + c 2 x - 3 2 ) Encontre T B ' , B em relação às bases B = 1 .x ,x

Sejam v 1 = 1 3 e v 2 = - 1 4 e seja A = 1 3 - 2 5 A matriz de T : R 2 → R 2 em relação á base B = { v 1 ,v 2 } .Encontre T v 1 B e T v 2 B .Encontre T ( v 1 ) e T ( v 2 ) .Encontre uma fórmula para T

Seja T : P 2 → P 2 a transformação linear definida por T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 1 x - 1 + a 2 x - 1 2 .Encontre a matriz de T em relação as bases canônicas B = 1 ,x ,x 2 e B ' = { 1 ,x } de P

Seja T : P 2 → P 3 a transformação linear definida por T p x = x p x .Encontre a matriz de T em relação as bases canônicas B = u 1 ,u 2 ,u 3 eB ' = { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } Em que u 1 = 1 , u 2 = x , u

Seja T : P 2 → P 2 o operador linear definido por T p x = p ( 2 x + 1 ) , ou seja, T c 0 + c 1 x + c 1 x 2 = c 0 + c 1 2 x + 1 + c 2 2 x + 1 2 Encontre T B em relação à base B = { 1 .x ,x 2 } .Use o p