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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 11

Seja V o espaço vetorial gerado por f 1 = s e n   x e f 2 = cos ⁡ x .

a) Mostre que g 1 = 2   s e n   x + cos ⁡ x e g 2 = 3 cos ⁡ x formam uma base de V .

a) Encontre a matriz de transição de B ' = g 1 ,   g 2 para B = f 1 ,   f 2 .

b) Encontre a matriz de transição de B para B ' .

c) Calcule o vetor de coordenadas h B , em que h = 2   s e n   x - 5 cos ⁡ x , e use (12) para calcular h B ' .

d) Confira seu trabalho calculando h B ' diretamente.

Passo 1

O primeiro passo nesse problema é mostrar que g 1 = 2   s e n   x + cos ⁡ x e g 2 = 3 cos ⁡ x formam uma base para V , que é gerado por f 1 = s e n   x e f 2 = cos ⁡ x .

Note que

g 1 = 2   f 1 + f 2             e           g 2 = 3   f 2

Portanto, como g 1 e g 2 são escritos como combinações lineares de f 1 e f 2 , temos que V também é gerado por g 1 e g 2 . Além disso, como f 1 e f 2 são LI, vemos que g 1 e g 2 também são LI. Como g 1 ,   g 2 é um conjunto gerador LI para V , ele é uma base de V .

Assim podemos definir as bases B ' = g 1 ,   g 2 e B = f 1 ,   f 2 . Com isso, podemos escrever

g 1 = 2 ,   1 B

g 2 = 0 ,   3 B

Agora, basta colocar essas coordenadas nas colunas da matriz

P B ' → B = 2 0 1 3

Passo 2

No item (b), queremos achar P B → B ' . Para isso, basta inverter a matriz achada no item (a). Como a matriz é 2 × 2 , vamos usar o truque:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Lembre-se que esse truque só vale para matrizes 2 × 2 . Assim, achamos a inversa rapidinho:

2 0 1 3 - 1 = 1 6 3 0 - 1 2 = 1 / 2 0 - 1 / 6 1 / 3

Assim,

P B → B ' = 1 / 2 0 - 1 / 6 1 / 3

Passo 3

Agora vamos para o item (c). O enunciado forneceu o vetor (função)

h = 2   s e n   x - 5 cos ⁡ x

Note que podemos escrever

h = 2   f 1 - 5   f 2 = 2 ,   - 5 B

Portanto,

h B = 2 - 5

Para achar h B ' , usamos

h B ' = P B → B ' h B

Logo,

h B ' = 1 / 2 0 - 1 / 6 1 / 3 2 - 5

Fazendo o produto de matrizes:

h B ' = 1 - 2

Ou ainda,

h = 1 ,   - 2 B '

Passo 4

No item (d) temos que confirmar que nosso resultado do item (c) está correto. Para isso, usamos que

h = 1 ,   - 2 B ' = 1 ⋅ g 1 - 2 ⋅ g 2 = 2   s e n   x + cos ⁡ x - 2 ⋅ 3 cos ⁡ x

Portanto,

h = 2   s e n   x - 5 cos ⁡ x

Vemos que as contas estão certas 😊

Resposta

P B ' → B = 2 0 1 3

P B → B ' = 1 / 2 0 - 1 / 6 1 / 3

h B = 2 - 5

h B ' = 1 - 2

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