Enunciado

Determinar uma equação da curva descrita por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto A ( - 1 ,   3 ) seja:

b) o dobro de sua distância à reta x   =   3 ;

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Aqui diz que a distância do ponto A até a curva (com ponto P ( x , y ) genérico) é igual ao dobro da distância do ponto P até a reta r :   x - 3 = 0 . Então vou colocar em forma matemática:

d A , P = 2 d P r

Então a ideia aqui é escrever a distância do ponto dado ao ponto genérico (fórmula da distância entre dois pontos), assim vamos ficar com x e y como variáveis.

Depois vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e a reta (aqui usar o ponto genérico e a reta dada).

Achadas essas duas quantidades, é só substituir ali em cima e reorganizar os termos até encontrar uma equação. Lembrando que se os sinais dos tivermos quadráticos forem iguais, temos uma elipse, se forem diferentes, teremos uma hipérbole. E se não tivermos algum termo quadrático, isso configura uma parábola.

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro vamos calcular a distância entre dois pontos:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Agora temos que x 0 , y 0 = ( - 1,3 ) e o ponto genérico vai ser nossa equação. Substituindo temos:

x + 1 2 + y - 3 2

Passo 3

Agora vou calcular a distância do ponto ( x , y ) até a reta x - 3 = 0 . Vamos relembrar da fórmula geral:

d P r = | a x + b y + c | a 2 + b 2

Aqui temos que a , b , c são os coeficientes da equação geral da reta. No nosso caso temos que a = 1 e b = 0 e c = - 3 . O ponto é aquele ponto genérico que já mencionei antes, substituindo temos:

d P r = 1 . x + 0 . y - 3 1 2 + 0 2 = x - 3

Passo 4

Agora vou resgatar a condição do passo 1 :

d A , P = 2 d P r

Temos que d A , P = x + 1 2 + y - 3 2 e d P r = x - 3 , agora vamos substituir:

x + 1 2 + y - 3 2 = 2 x - 3

Elevando dos dois lados ao quadrado:

x + 1 2 + y - 3 2 = 4 x - 3 2

Agora precisamos abrir esses produtos notáveis:

x 2 + 2 x + 1 + y 2 - 6 y + 9 = 4 x 2 - 24 x + 36

E colocar tudo pro mesmo lado e juntar os termos semelhantes:

4 x 2 - 24 x + 36 - x 2 - 2 x - 1 - y 2 + 6 y - 9 = 0

3 x 2 - y 2 - 26 x + 6 y + 16 = 0

Pronto! Conseguimos escrever a equação! Como os sinais dos termos ao quadrado são diferentes, temos uma hipérbole!

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

3 x 2 - y 2 - 26 x + 6 y + 16 = 0 ,   h i p é r b o l e

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