Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 58c
Determinar uma equação da curva descrita por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto seja:
b) o dobro de sua distância à reta ;
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D
Aqui diz que a distância do ponto até a curva (com ponto genérico) é igual ao dobro da distância do ponto até a reta . Então vou colocar em forma matemática:
Então a ideia aqui é escrever a distância do ponto dado ao ponto genérico (fórmula da distância entre dois pontos), assim vamos ficar com e como variáveis.
Depois vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e a reta (aqui usar o ponto genérico e a reta dada).
Achadas essas duas quantidades, é só substituir ali em cima e reorganizar os termos até encontrar uma equação. Lembrando que se os sinais dos tivermos quadráticos forem iguais, temos uma elipse, se forem diferentes, teremos uma hipérbole. E se não tivermos algum termo quadrático, isso configura uma parábola.
Beleza até aqui?
Vamos começar?
Passo 2
Primeiro vamos calcular a distância entre dois pontos:
Agora temos que e o ponto genérico vai ser nossa equação. Substituindo temos:
Passo 3
Agora vou calcular a distância do ponto até a reta . Vamos relembrar da fórmula geral:
Aqui temos que são os coeficientes da equação geral da reta. No nosso caso temos que e e . O ponto é aquele ponto genérico que já mencionei antes, substituindo temos:
Passo 4
Agora vou resgatar a condição do passo :
Temos que e , agora vamos substituir:
Elevando dos dois lados ao quadrado:
Agora precisamos abrir esses produtos notáveis:
E colocar tudo pro mesmo lado e juntar os termos semelhantes:
Pronto! Conseguimos escrever a equação! Como os sinais dos termos ao quadrado são diferentes, temos uma hipérbole!
Espero ter ajudado!
Vamos pra próxima?