Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 32
Dados o plano e a reta , escreva equações paramétricas da reta que passa pelo ponto , é paralela ao plano e concorrente com a reta . Quais são as coordenadas do ponto de concorrência?
Passo 1
Ok, pessoal. A reta que queremos pode ser escrita como
Já sabemos que essa reta passa no ponto , então ficamos com
Agora temos que determinar o vetor diretor . Como essa reta é paralela ao plano , então seu vetor diretor deve ser ortogonal ao vetor normal do plano :
.
Passo 2
Sabemos que a reta é concorrente a reta
Então, eles devem se encontrar num determinado ponto . Nesse ponto, as coordenadas das duas retas são iguais:
Vamos somar essas três equações:
onde usamos . Sabendo que , podemos substituir esse valor na equação da reta e encontrar o ponto :
Passo 3
Ainda precisamos descobrir o vetor diretor da reta . Mas calma que falta pouco. Sabemos que essa reta passa pelos pontos e . Então, temos o vetor
que deve ser proporcional ao vetor diretor
Se escolhermos , então teremos
O resultado não está exatamente igual ao livro, mas calma. A equação simétrica então pode ser escrita como
Podemos multiplicar ambos os lados por
e somar com 2 em ambos os lados
Assim, vemos que a reta que obtivemos é totalmente equivalente a ( não se altera):
.