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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 23

Em cada um dos Problemas de 20 a 27, obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas.

Focos F 1 ( - 3,2 ) e F 2 ( 3,2 ) e excentricidade 1 2

Passo 1

O enunciado nos da os dois focos, e o centro esta exatamente no meio entre eles, então vamos fazer

C e n t r o = F 1 + F 2 2

C e n t r o = - 3 , 2 + 3 , 2 2

C e n t r o = ( 0 , 2 )

Beleza, agora que temos o centro ( 0,2 ) e o foco, a distancia focal vai ser a distancia do x do centro até o x de um dos focos, então temos que:

c = 3

Agora para achar a , vamos usar a relação

e = c a

1 2 = 3 a

a = 6

Passo 2

Agora para acharmos b , vamos fazer aquela relação do triangulo da elipse, se você não lembra é essa relação aqui da imagem:

a 2 = b 2 + c 2

b 2 = 6 2 - 3 2

b 2 = 27

Passo 3

Agora vamos montar a nossa equação da elipse, lembrando que como o centro não está na origem, e a distancia focal está relacionada ao eixo x, ficamos com essa equação:

x - x o 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Subsituindo os valores que temos de a e b e de x 0 e y 0 (são as coordenadas do centro) ficamos com:

x - 0 2 36 + y - 2 2 27 = 1

Podemos ajeitar isso ai e ficamos com

3 x 2 + 4 y 2 - 4 y + 4 = 108

3 x 2 + 4 y 2 - 16 y + 16 = 108

3 x 2 + 4 y 2 - 16 y - 92 = 0

Resposta

3 x 2 + 4 y 2 - 16 y - 92 = 0

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Ache a equação da reta tangente à elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 72 no ponto ( 3 ,2 ) .
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Focos em ( - 1 , - 1 ) e ( - 1 ,7 ) e o semi-eixo maior com 8 unidades de comprimento.
Mostre que a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 no ponto x 0 ,y 0 da elipse é x 0 x a 2 +y 0 y b 2 = 1 .
Ache a equação da elipse tendo as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.Focos em ( 2 ,3 ) e ( 2 ,7 ) e o comprimento do semi-eixo menor é dois terços do comprimento do semi-eixo maior.
Na figura 11 prove que α = β . (Sugestão: escolha os eixos coordenados de tal forma que o centro da elipse esteja na origem e os eixos ao longo dos eixos coordenados. Então use o Teorema 1.6.8.)