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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 4

Escreva uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto P   = ( 1,2 , 3 ) e é paralelo às retas x - 1 2   = y - 1 3 = z - 1 4 e

⎧   x   =   4

⎢     y   =   1 - λ

⎩   z   =   1 + λ

Passo 1

Bom, vamos começar determinando as equações paramétricas da reta

r : x - 1 2   = y - 1 3 = z - 1 4 = t ⇒ x = 2 t + 1 ,   y =   3   t + 1 ,   z = 4 t + 1

Com isso, vemos que o vetor diretor dessa reta é

v → r = ( 2,3 , 4 )

enquanto o vetor diretor da segunda reta é

v → s = ( 0 , - 1,1 )

Supondo que X = ( x , y , z ) pertence ao plano e sabendo que P   = ( 1,2 , 3 ) pertence ao plano, temos o seguinte vetor

P X → = X - P = ( x , y , z ) - ( 1,2 , 3 ) = ( x - 1 , y - 2 , z - 3 )

Passo 2

Os vetores P X → , v → r e v → s devem ser l.d., de modo que o determinante da matriz contendo esses vetores é nulo:

⇒ ( x - 1 ) ( 3 + 4 ) - ( y - 2 ) ( 2 ) + ( z - 3 ) ( - 2 ) = 0

⇒ 7 ( x - 1 ) - 2 ( y - 2 ) - 2 ( z - 3 ) = 0 ⇒ 7 x - 7 - 2 y + 4 - 2 z + 6 = 0

⇒ 7 x - 2 y - 2 z + 3 = 0

Resposta

7 x - 2 y - 2 z + 3 = 0

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