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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2.Problemas Propostos - Ex. 4

Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades das elipses dadas. Esboçar o gráfico.

4) 9 x 2 + 5 y 2 - 4 5 = 0

Passo 1

Neste problema, precisamos determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades da elipse dada. Por último, ainda precisamos esboçar o gráfico. Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Como o eixo maior está sobre o eixo dos y , sabemos que a equação da elipse vai ser dada por:

x 2 b 2 = y 2 a 2 = 1

A equação da elipse dada no enunciado tem a seguinte cara:

9 x 2 + 5 y 2 - 45 = 0

Portanto, vamos reescrevê-la de um jeito mais bonitinho, para encontrarmos os valores de a e b :

9 x 2 + 5 y 2 - 4 5 = 0

9 x 2 4 5 + 5 y 2 45 = 1

x 2 5 + y 2 9 = 1

Logo, por comparação, temos:

a 2 = 9 ⇒ a = 3

b 2 = 5 ⇒ b = 5  

Passo 3

Vamos agora achar a excentricidade da elipse, que é dada por:

e = c a

Como conhecemos os valores de a e b , podemos determinar c :

a 2 = b 2 + c 2

9 = 5 + c 2

c 2 = 4

c = 2

Portanto, a excentricidade é:

e = c a = 2 3

Passo 4

O centro da elipse é o ponto ( 0 ,   0 ) e os focos são dados por 0 ,   ± c = ( 0 ,   ± 2 ) .

Por último, os vértices são dados por 0 ,   ± a = 0 ,   ± 3 .

Passo 5

Logo, o gráfico é dado por:

Resposta

C 0 ,   0 ,     A 0 ,   ± 3 ,     F 0 ,   ± 2 ,     e = 2 3

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