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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2.Problemas Propostos - Ex. 7

Em cada um dos problemas 1 a 8, determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades das elipses dadas. Esboçar o gráfico.

7) 4 x 2 + 25 y 2 = 1

Passo 1

Neste problema, precisamos determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e as excentricidades da elipse dada. Por último, ainda precisamos esboçar o gráfico. Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Como o eixo maior está sobre o eixo dos x , sabemos que a equação da elipse vai ser dada por:

x 2 a 2 = y 2 b 2 = 1

A equação da elipse dada no enunciado tem a seguinte cara:

4 x 2 + 25 y 2 = 1

Portanto, vamos reescrevê-la de um jeito mais bonitinho, para encontrarmos os valores de a e b :

4 x 2 + 25 y 2 = 1

x 2 1 4 + y 2 1 25 = 1

Logo, por comparação, temos:

a 2 = 1 4 ⇒ a = 1 2

b 2 = 1 25 ⇒ b = 1 5  

Passo 3

Vamos agora achar a excentricidade da elipse, que é dada por:

e = c a

Como conhecemos os valores de a e b , podemos determinar c :

a 2 = b 2 + c 2

1 4 = 1 25 + c 2

c 2 = 1 4 - 1 25 = 25 - 4 100 = 21 100

c = 21 10

Portanto, a excentricidade é:

e = c a = 21 10 1 2 = 21 5

Passo 4

O centro da elipse é o ponto ( 0 ,   0 ) e os focos são dados por ± c ,   0 = ( ± 21 10 ,   0 ) .

Por último, os vértices são dados por ± a ,   0 = ± 1 2 ,   0 .

Passo 5

Logo, o gráfico é dado por:

Resposta

C 0 ,   0 ,     A ± 1 2 ,   0 ,     F ± 21 10 ,   0 ,     e = 21 5

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Se F 1 e F 2 são os focos da elipse E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , prove que: a P é um ponto interior a E se, e somente se, d P 1 F 1 + d P 1 F 22 a ; b P é exterior à elipse se, e somente, se d P 1 F 1
Determine as retas tangentes á elipse E : x 2 + 3 y 2 = 7 que contêm o ponto P = ( - 1 , - 3 ) .
Obtenha equações da reta tangente á elipse E : x 2 + 2 y 2 = 3 em P = 1 , - 1 e da reta normal a E em Q = 1,1 .
Prove que, se P = h , k é um ponto exterior à elipse E : x 2 p + y 2 q = 1 , então existem exatamente duas retas tangentes a E que contêm P .
Justifique o roteiro anterior.