Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 21
Escreva equações paramétricas da reta que passa por , encontra a reta e é ortogonal ao vetor .
Passo 1
Então, galerinha, vamos usar como o ponto de início da reta . Por enquanto o vetor diretor será da forma . Assim, as equações paramétricas da reta assumem a seguinte forma:
Para determinar o vetor diretor, vamos usar as informações de que encontra a reta e é ortogonal ao vetor .
Como a reta é ortogonal a , então vale
Já podemos utilizar essa informação nas equações paramétricas da reta
Agora, vamos reescrever a outra reta na forma paramétrica
Passo 2
Quando as duas retas se encontram, sua coordenadas se igualam e temos
Vamos multiplicar a terceira equação por por 2:
Agora, vamos somar a primeira equação com a terceira:
Agora, subtraímos 2 da segunda equação
Comparando esse resultado com , vemos que devemos ter
Isso quer dizer que as duas retas se encontram quando o parâmetro da segunda reta é . Isso corresponde ao ponto . Nesse caso, obtemos
A última equação resultou em , o que quer dizer ou são iguais a zero. Se olharmos bem para a segunda equação, veremos que não pode ser igual a zero, caso contrário teríamos . Então só resta a opção . Assim, a primeira e segunda equações se tornam
que são basicamente equivalentes.
Passo 3
Bom, como , as equações paramétricas da reta se reduzem a
Por enquanto só sabemos que . Mas podemos determinar lembrando que o ponto pertence a reta. Assim, devemos ter um valor do parâmetro para o qual
Nos dois casos, chegamos à mesma conclusão de que . Como não mudou, apenas , concluímos que no ponto . Já esgotamos nossas opções e não conseguimos determinar e separadamente. Então, vamos fazer o seguinte, vamos reescrever as equações paramétricas na forma simétrica ( não entra nesses cálculos porque tem um valor fixo ):
onde definimos um novo parâmetro . Assim,