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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 4

São dados os pontos: A   =   ( 5 , - 3,1 ) , B   =   ( - 2,4 , 3 ) e C   =   ( 3,1 , - 4 ) .

  1. Determine os pontos médios M de B C ̄ , N de A B ̄ e Q de A C ̄ .
  2. Determine as coordenadas do ponto P de A M ̄ tal que A P   ̄ =   2 P M ̄ .
  3. Mostre que 3 P Q ̄   =   B Q ̄ .

Passo 1

  1. Fala, galera! Vocês já sabem que os pontos médios satisfazem as seguintes relações:

    2. B M → = 1 2 B C → = 1 2 ( C - B ) = 1 2 [ ( 3,1 , - 4 ) - ( - 2,4 , 3 ) ] = 1 2 ( 5 , - 3 , - 7 )

    A N → = 1 2 A B → = 1 2 ( B - A ) = 1 2 [ ( - 2,4 , 3 ) - ( 5 , - 3,1 ) ] = 1 2 ( - 7,7 , 2 )

    A Q → = 1 2 A C → = 1 2 ( C - A ) = 1 2 [ ( 3,1 , - 4 ) - ( 5 , - 3,1 ) ] = 1 2 ( - 2,4 , - 5 )

    Por outro lado, também podemos obter esses vetores pela subtração dos pontos:

    B M → = M - B ⇒ M = B M → + B

    A N → = N - A ⇒ N = A N → + A

    A Q → = Q - A ⇒ Q = A Q → + A

    Então, usando os vetores obtidos logo acima, podemos determinar os pontos médios:

    M = B M → + B = 1 2 ( 5 , - 3 , - 7 ) +   ( - 2,4 , 3 ) = 1 2 ( 1,5 , - 1 )

    N = A N → + A = 1 2 ( - 7,7 , 2 ) + ( 5 , - 3,1 ) = 1 2 ( 3,1 , 4 )

    Q = A Q → + A = 1 2 ( - 2,4 , - 5 ) +   ( 5 , - 3,1 ) = 1 2 ( 8 , - 2 , - 3 )

    Passo 2

  2. Como A P   ̄ =   2 P M ̄ então

    3. A M → = A P → + P M → = 2 P M → + P M → = 3 P M → ⇒ P M → = 1 3 A M →

    Como vocês já devem tá ligados, temos

    P M → = M - P

    então, o ponto P é dado por

    P = M - P M → = M - 1 3 A M → = - 1 3 ( M - A ) + M = 1 3 ( 2 M + A ) = 1 3 [ ( 1,5 , - 1 ) + ( 5 , - 3,1 ) ]

    P = 1 3 ( 6,2 , 0 )

    Passo 3

  3. Para mostrar que 3 P Q ̄   =   B Q ̄ vamos calcular esses vetores a partir dos pontos:

P Q → = Q - P = 1 2 ( 8 , - 2 , - 3 ) - 1 3 ( 6,2 , 0 ) = 1 6 ( 24 - 12 , - 6 - 4 , - 9 ) = 1 6 ( 12 , - 10 , - 9 )

P Q → = ( 2 , - 5 3 , - 3 2 )

B Q → = Q - B = 1 2 ( 8 , - 2 , - 3 ) -   ( - 2,4 , 3 ) = ( 6 , - 5 , - 9 2 ) = 3 P Q →

Resposta

  1. M = 1 2 ( 1,5 , - 1 ) , N = 1 2 ( 3,1 , 4 ) e Q = 1 2 ( 8 , - 2 , - 3 )
  2. P = 1 3 ( 6,2 , 0 )

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