Escrevendo as equações paramétricas das retas r   e   r   ' sob a forma vetorial, tem-se r   =   { A + s v ;   s   ∈   R }   e   r   '   =   { A   '   + t v '   ;   t   ∈   R } . Estabeleça condições sobre os pontos A ,   A ' e os vetores v ,   v   ' a fim de que essas retas ( a ) coincidam; ( b ) sejam paralelas; ( c ) sejam reversas; ( d ) sejam coplanares.

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Começaremos observando nossas retas paramétrica de equações:

r   =   A + s v ;   s   ∈   R

  r   '   =   { A   '   + t v '   ;   t   ∈   R }

Para essas duas retas serem coincidentes elas devem ser coplanares ou seja deve obedecer:

v , v '   d e v e m   s e r   L D   p a r a l e l o s

v , A A ' →   d e v e m   s e r   L D   p a r a l e l o s

v ' , A A ' →   d e v e m   s e r   L D   p a r a l e l o s

Passo 2

Para essas duas retas serem paralelas elas devem ser coplanares ou seja deve obedecer:

v , v '   d e v e m   s e r   L D   p a r a l e l o s

v , A A ' →   d e v e m   s e r   L I     n ã o   p a r a l e l o s

v ' , A A ' →   d e v e m   s e r   L I     n ã o   p a r a l e l o s

Passo 3

Para essas duas retas serem reversas elas não devem ser coplanares ou seja deve obedecer:

v . v '   ≠ 0    

v , v '   d e v e m   s e r   L I     n ã o   p a r a l e l o s

Passo 4

Para essas duas retas serem coplanares elas devem obedecer:

v , v ' , A A ' →   ≠ 0  

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

a)

v , v '   d e v e m   s e r   L D   p a r a l e l o s

v , A A ' →   d e v e m   s e r   L D   p a r a l e l o s

v ' , A A ' →   d e v e m   s e r   L D   p a r a l e l o s

b)

v , v '   d e v e m   s e r   L D   p a r a l e l o s

v , A A ' →   d e v e m   s e r   L I     n ã o   p a r a l e l o s

v ' , A A ' →   d e v e m   s e r   L I     n ã o   p a r a l e l o s

c)

v . v '   ≠ 0    

v , v '   d e v e m   s e r   L I     n ã o   p a r a l e l o s

d) v , v ' , A A ' →   ≠ 0  

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