Enunciado

Obter equações paramétricas das retas nos casos em que:

A reta passa por A - 1,0 , 2 e é paralela a cada um dos planos π 1 : 2 x + y + z + 1 = 0 e π 2 : x - 3 y - z - 5 = 0 ;

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato das equações paramétricas da reta:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

Aqui temos que o ponto A x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta e v → = a , b , c um vetor direção da reta.

Aqui podemos achar o ponto A bem simples, é só usar o ponto A - 1,0 , 2 , já que a reta passa por ele:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t → x = - 1 + a t y = 0 + b t z = 2 + c t → x = - 1 + a t y = b t z = 2 + c t

Passo 2

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor diretor v → = a , b , c da reta, vamos encontrar usando as informações dos planos π 1 e π 2 .

Como o vetor diretor v → da reta é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos planos π 1 e π 2 podemos encontrar vetor v → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre os vetores normais:

v → = n → 1 × n → 2

Temos então que os vetores normais são:

n → 1 = 2,1 , 1

n → 2 = 1 , - 3 , - 1

Assim vamos calcular o vetor v → :

v → = n → 1 × n → 2 = i → j → k → 2 1 1 1 - 3 - 1 = i → j → k → 2 1 1 1 - 3 - 1         i → j → 2 1 1 - 3 = - i → + j → - 6 k → - k → + 3 i → + 2 j → =

= 2 i → + 3 j → - 7 k →

Pronto, o vetor diretor da reta é:

v → = a , b , c = 2,3 , - 7

Passo 3

Agora é só substituir na equação da reta:

x = - 1 + a t y = b t z = 2 + c t → x = - 1 + 2 t y = 3 t z = 2 - 7 t

Pronto, temos que as equações paramétricas da reta que passa por A e é paralela aos planos π 1 e π 2 é:

x = - 1 + 2 t y = 3 t z = 2 - 7 t

Resposta

x = - 1 + 2 t y = 3 t z = 2 - 7 t

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