Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 52
Escrever uma equação geral do plano que passa por e é paralelo a cada uma das retas , e .
Passo 1
Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:
Onde é o vetor normal do plano.
Agora precisamos então encontrar os valores , e do vetor normal , vamos encontrar usando as informações das retas e .
Passo 2
O vetor normal do plano é simultaneamente ortogonal aos vetores diretores das retas paralelas a ele, podemos então encontrar vetor da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre o vetor diretor de e de :
Para encontrar os vetores diretores de e vamos expressar as retas na forma de equações reduzidas da reta:
Onde o ponto é um ponto que passa pela reta, e o vetor é o vetor diretor.
Passo 3
Agora vamos pegar a expressão da reta e colocar e em função de , aqui na expressão já temos isso:
Pronto, agora precisamos encontrar dois pontos da reta para encontrar o vetor diretor, vamos fazer e :
Para temos:
E para temos:
Temos então os pontos e , agora vamos então encontrar o vetor diretor da seguinte forma:
Passo 4
Agora vamos pegar a expressão da reta e colocar e em função de :
Pronto, agora precisamos encontrar dois pontos da reta para encontrar o vetor diretor, vamos fazer e :
Para temos:
E para temos:
Temos então os pontos e , agora vamos encontrar o vetor diretor da seguinte forma:
Passo 5
Agora que temos os vetores diretores podemos calcular o produto vetorial, vamos lá:
Pronto, o vetor normal do plano é:
Agora é só substituir na equação do plano:
Só nos falta encontrar o valor de , e vamos usar o ponto que passa pelo plano para encontrar, é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de :
Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano que passa por e é paralelo as retas e é: