Enunciado

Escrever uma equação geral do plano que passa por A - 1,2 , - 1 e é paralelo a cada uma das retas r 1 : y = x , z = 1 - 3 x e r 2 : 2 x = y = 3 z .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato da equação geral de um plano:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano.

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor normal n → = a , b , c , vamos encontrar usando as informações das retas r 1 e r 2 .

Passo 2

O vetor normal n → do plano é simultaneamente ortogonal aos vetores diretores das retas paralelas a ele, podemos então encontrar vetor n → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre o vetor diretor de r 1 e de r 2 :

n → = r 1 → × r 2 →

Para encontrar os vetores diretores de r 1 e r 2 vamos expressar as retas na forma de equações reduzidas da reta:

r : x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Onde o ponto B x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta, e o vetor u → = a , b , c é o vetor diretor.

Passo 3

Agora vamos pegar a expressão da reta r 1 e colocar y e z em função de x , aqui na expressão já temos isso:

y = x

z = 1 - 3 x

Pronto, agora precisamos encontrar dois pontos da reta para encontrar o vetor diretor, vamos fazer x = 0 e x = 1 :

Para x = 0 temos:

y = x = 0

z = 1 - 3 x = 1 - 3 ⋅ 0 = 1

E para x = 1 temos:

y = x = 1

z = 1 - 3 x = 1 - 3 ⋅ 1 = - 2

Temos então os pontos B 0,0 , 1 e C 1 , 1 , - 2 , agora vamos então encontrar o vetor diretor da seguinte forma:

u → = B C → = C - B = 1 , 1 , - 2 - 0,0 , 1 = 1 , 1 , - 3

Passo 4

Agora vamos pegar a expressão da reta r 2 e colocar y e z em função de x :

2 x = y = 3 z

2 x = y → y = 2 x

2 x = 3 z → z = 2 x 3

Pronto, agora precisamos encontrar dois pontos da reta para encontrar o vetor diretor, vamos fazer x = 0 e x = 3 :

Para x = 0 temos:

y = 2 x = 2 ⋅ 0 = 0

z = 2 x 3 = 2 ⋅ 0 3 = 0

E para x = 3 temos:

y = 2 x = 2 ⋅ 3 = 6

z = 2 x 3 = 2 ⋅ 3 3 = 2

Temos então os pontos B 0,0 , 0 , e C 3,6 , 2 , agora vamos encontrar o vetor diretor da seguinte forma:

u → = B C → = C - B = 3,6 , 2 - 0,0 , 0 = 3,6 , 2

Passo 5

Agora que temos os vetores diretores podemos calcular o produto vetorial, vamos lá:

n → = r 1 → × r 2 → = i → j → k → 1 1 - 3 3 6 2 = i → j → k → 1 1 - 3 3 6 2         i → j → 1 1 3 6 = 2 i → - 9 j → + 6 k → - 3 k → + 18 i → - 2 j → =

= 20 i → - 11 j → + 3 k →

Pronto, o vetor normal do plano é:

n → = a , b , c = 20 , - 11 , 3

Agora é só substituir na equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0 → 20 x - 11 y + 3 z + d = 0

Só nos falta encontrar o valor de d , e vamos usar o ponto A - 1,2 , - 1 que passa pelo plano para encontrar, é só substituirmos ele na equação do plano e encontramos o valor de d :

20 x - 11 y + 3 z + d = 0 → 20 ⋅ - 1 - 11 ⋅ 2 + 3 ⋅ - 1 + d = 0 →

→ - 20 - 22 - 3 + d = 0 → d = 45

Pronto, substituindo temos que a equação geral do plano que passa por A - 1,2 , - 1 e é paralelo as retas r 1 e r 2 é:

20 x - 11 y + 3 z + 45 = 0

Resposta

20 x - 11 y + 3 z + 45 = 0

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