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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 3

No espaço V = P 3 R consideremos o produto interno f ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 f t g t d t .

Calcular f ( t ) ,   g ( t ) , f ( t ) ,   g ( t ) e f t + g ( t ) quando f t = t 3 - t - 1 e

g t = t 2 + 1 . Repita o exercício com f t = 2 e g t = t 3 + t + 1 .

Passo 1

Para essa questão, vamos usar de , u = u ,   u . Assim, podemos definir o u para os diferentes pedidos da questão.

Vamos começar então calculando f ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 f t g t d t para f t = t 3 - t - 1 e g t = t 2 + 1 .

f ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 f t g t d t

f ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 t 3 - t - 1 t 2 + 1 d t

f ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 t 5 + t 3 - t 3 - t - t 2 - 1 d t

f ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 t 5 - t 2 - t - 1 d t

f ( t ) ,   g ( t ) = t 6 6 0 1 - t 3 3 0 1 - t 2 2 0 1 - t 0 1

f ( t ) ,   g ( t ) = 1 6 - 1 3 - 1 2 - 1

f ( t ) ,   g ( t ) = 1 6 - 5 6 - 1

f ( t ) ,   g ( t ) = - 5 3

Vamos aproveitar e fazer já com f t = 2 e g t = t 3 + t + 1 .

f ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 f t g t d t

f ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 2 t 3 + t + 1 d t

f ( t ) ,   g ( t ) = 2 ∫ 0 1 t 3 + t + 1 d t

f ( t ) ,   g ( t ) = 2 t 4 4 0 1 - t 2 2 0 1 - t 0 1

f ( t ) ,   g ( t ) = 2 1 4 - 1 2 - 1

f ( t ) ,   g ( t ) = 2 1 4 - 2 4 - 4 4  

f ( t ) ,   g ( t ) = - 5 2

Passo 2

Para calcularmos as normas, vamos primeiro calcular os produtos internos

f ( t ) ,   f ( t ) = ∫ 0 1 f t f t d t

g ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 g t g t d t

Em todos os casos que a questão pede.

  • Para f t = t 3 - t - 1 e g t = t 2 + 1 .

    • f ( t ) ,   f ( t ) = ∫ 0 1 f t f t d t

    f ( t ) ,   f ( t ) = ∫ 0 1 t 3 - t - 1   t 3 - t - 1   d t

    f ( t ) ,   f ( t ) = ∫ 0 1 t 6 - t 4 - t 3 - t 4 + t 2 - t - t 3 + t + 1 d t

    f ( t ) ,   f ( t ) = ∫ 0 1 t 6 - 2 t 4 - 2 t 3 + t 2 + 2 t + 1 d t

    f ( t ) ,   f ( t ) = t 7 7 0 1 - 2 t 5 5 0 1 - 2 t 4 4 0 1 + t 3 3 0 1 + 2 t 2 2 0 1 + t 0 1

    f ( t ) ,   f ( t ) = 1 7 - 2 5 - 1 2 + 1 3 + 2

    f ( t ) ,   f ( t ) = 30 210 - 84 210 - 105 210 + 70 210 + 410 210

    f ( t ) ,   f ( t ) = 321 210

    □

    g ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 g t g t d t

    g ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 t 2 + 1 t 2 + 1 d t

    g ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 t 4 + 2 t 2 + 1 d t

    g ( t ) ,   g ( t ) = t 5 5 0 1 + 2 t 3 3 0 1 + t 0 1

    g ( t ) ,   g ( t ) = 1 5 + 2 3 + 1

    g ( t ) ,   g ( t ) = 3 15 + 10 15 + 15 15

    g ( t ) ,   g ( t ) = 28 15

  • Para f t = 2 e g t = t 3 + t + 1 .

    • f ( t ) ,   f ( t ) = ∫ 0 1 f t f t d t

    f ( t ) ,   f ( t ) = ∫ 0 1 2   2   d t

    f ( t ) ,   f ( t ) = ∫ 0 1 4 d t

    f ( t ) ,   f ( t ) = 4 t 0 1

    f ( t ) ,   f ( t ) = 4

    □

    g ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 g t g t d t

    g ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 t 3 + t + 1 t 3 + t + 1 d t

    g ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 t 6 + t 4 + t 3 + t 4 + t 2 + t + t 3 + t + 1   d t

    g ( t ) ,   g ( t ) = ∫ 0 1 t 6 + 2 t 4 + 2 t 3 + t 2 + 2 t + 1   d t

    g ( t ) ,   g ( t ) = t 7 7 0 1 + 2 t 5 5 0 1 + 2 t 4 4 0 1 + t 3 3 0 1 + 2 t 2 2 0 1 + t 0 1

    g ( t ) ,   g ( t ) = 1 7 + 2 5 + 1 2 + 1 3 + 2

    g ( t ) ,   g ( t ) = 30 210 + 84 210 + 105 210 + 70 210 + 420 210

    g ( t ) ,   g ( t ) = 699 210

    g ( t ) ,   g ( t ) = 233 70

    Passo 3

    Precisamos ainda do polinômio resultante f t + g ( t ) . Vamos calcular em ambos os casos:

  • Para f t = t 3 - t - 1 e g t = t 2 + 1 .

    • f t + g t = t 3 - t - 1 + t 2 + 1

    f t + g t = t 3 + t 2 - t

  • Para f t = 2 e g t = t 3 + t + 1 .

    • f t + g t = 2 + t 3 + t + 1

    f t + g t = t 3 + t + 3

    Passo 4

    Vamos calcular as integrais para ambos os casos para termos um resultado e calcularmos depois a norma desse polinômio.

  • Para f t = t 3 - t - 1 e g t = t 2 + 1 .

    • f t + g t ,   f t + g t = ∫ 0 1 f t + g t f t + g t d t

    f t + g t ,   f t + g t = ∫ 0 1 t 3 + t 2 - t t 3 + t 2 - t d t

    f t + g t ,   f t + g t = ∫ 0 1 t 6 + t 5 - t 4 + t 5 + t 4 - t 3 - t 4 - t 3 + t 2 d t

    f t + g t ,   f t + g t = ∫ 0 1 t 6 + 2 t 5 - t 4 - 2 t 3 + t 2 d t

    f t + g t ,   f t + g t = t 7 7 0 1 + 2 t 6 6 0 1 - t 5 5 0 1 - 2 t 4 4 0 1 + t 3 3 0 1

    f t + g t ,   f t + g t = 1 7 + 1 3 - 1 5 - 1 2 + 1 3

    f t + g t ,   f t + g t = 1 7 + 2 3 - 1 5 - 1 2

    f t + g t ,   f t + g t = 30 210 + 140 210 - 42 210 - 105 210

    f t + g t ,   f t + g t = 23 210

  • Para f t = 2 e g t = t 3 + t + 1 .

f t + g t ,   f t + g t = ∫ 0 1 f t + g t f t + g t d t

f t + g t ,   f t + g t = ∫ 0 1 t 3 + t + 3 t 3 + t + 3 d t

f t + g t ,   f t + g t = ∫ 0 1 t 6 + t 4 + 3 t 3 + t 4 + t 2 + 3 t + 3 t 3 + 3 t + 9 d t

f t + g t ,   f t + g t = ∫ 0 1 t 6 + 2 t 4 + 6 t 3 + t 2 + 6 t + 9 d t

f t + g t ,   f t + g t = t 7 7 0 1 + 2 t 5 5 0 1 + 6 t 4 4 0 1 + t 3 3 0 1 + 6 t 2 2 0 1 + 9 t 0 1

f t + g t ,   f t + g t = 1 7 + 2 5 + 3 2 + 1 3 + 12

f t + g t ,   f t + g t = 1 7 + 2 5 + 11 6 + 12

f t + g t ,   f t + g t = 30 210 + 84 210 + 385 210 + 2520 210

f t + g t ,   f t + g t = 3019 210

Passo 3

Agora, vamos usar da definição u = u ,   u para calcular todas as normas.

Começaremos com o caso de f t = t 3 - t - 1 e g t = t 2 + 1 .

f t = f t , f t

f t = 321 210

□

g t = g t , g t

g t = 28 15

□

f t + g t = f t + g t ,   f t + g t

f t + g t = 23 210

Passo 4

Por fim, vamos para o caso f t = 2 e g t = t 3 + t + 1 .

f t = f t , f t

f t = 4

f t = 2

□

g t = g t , g t

g t = 233 70

□

f t + g t = f t + g t ,   f t + g t

f t + g t = 3019 210

Pronto! Era isso que a questão queria!

Resposta

f ( t ) ,   g ( t ) = - 5 3 ,   f t = 321 210 ,     g t = 28 15 , f t + g t = 23 210

f ( t ) ,   g ( t ) = - 5 2 ,   f t = 2 ,     g t = 233 70 , f t + g t = 3019 210

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