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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 1

Sejam u = ( x 1 ,   x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) vetores genéricos do R 2 . Para que valores de t ∈ R a função u ,   v = x 1 y 1 + t x 2 y 2 é um produto interno sobre o R 2 ?

Passo 1

Para essa questão, devemos testar os axiomas que definem um produto interno. Eles são:

  • u +   v ,   w = u ,   w + v ,   w tal que w = ( z 1 ,   z 2 )
  • α u ,   v = α u ,   v
  • u ,   v = v , u
  • u ,   u ≥ 0

Passo 2

Vamos começar testando se u +   v ,   w = u ,   w + v ,   w tal que w = ( z 1 ,   z 2 ) .

u + v = x 1 + y 1 ,   x 2 + y 2           ;               w = ( z 1 , z 2 )

u +   v ,   w = x 1 + y 1 ,   x 2 + y 2 , ( z 1 , z 2 )

x 1 + y 1 ,   x 2 + y 2 , ( z 1 , z 2 ) = x 1 + y 1 z 1 + t x 2 + y 2 z 2

x 1 + y 1 ,   x 2 + y 2 , ( z 1 , z 2 ) = x 1 z 1 + y 1 z 1 + t x 2 z 2 + t y 2 z 2

x 1 + y 1 ,   x 2 + y 2 , ( z 1 , z 2 ) = x 1 z 1 + t x 2 z 2 + y 1 z 1 + t y 2 z 2

x 1 + y 1 ,   x 2 + y 2 , ( z 1 , z 2 ) = u ,   w + v ,   w

A primeira condição é válida. O que nos dá um indicativo de que u ,   v = x 1 y 1 + t x 2 y 2 é um produto interno válido.

Se continuarmos testando as condições, veremos que, de fato, esse produto interno é válido.

Só que a questão procura uma condição para t de modo que ele permaneça válido. Assim, temos que usar da última condição.

Passo 3

Testando a condição u ,   u ≥ 0 , vamos aplicar de maneira a achar um intervalo para que t mantenha esse produto interno positivo.

u ,   u = ( x 1 ,   x 2 ) , ( x 1 ,   x 2 )

( x 1 ,   x 2 ) , ( x 1 ,   x 2 ) = x 1 x 1 + t x 2 x 2

( x 1 ,   x 2 ) , ( x 1 ,   x 2 ) = x 1 2 + t x 2 2

x 1 2 + t x 2 2 ≥ 0

t x 2 2 ≥ - x 1 2

t ≥ - 1

Logo, o produto interno é válido se e somente se t ≥ - 1 .

Pronto! Terminamos a demonstração.

Resposta

Logo, o produto interno é válido se e somente se t ≥ - 1 .

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