Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 8
Determinar o operador linear do cuja matriz em relação à base é
Passo 1
Então. Antes de tudo, precisamos entender o que a questão pede, não é? E o que ela quer dizer exatamente com determinar o operador linear?
O que a questão quer mesmo é que determinemos a lei da nossa transformação. Por exemplo, seria dizer que . Queremos determinar algo do tipo, só que algo que se enquadre com a nossa base e com a matriz de transformação:
Entenderam? Agora, vamos ter que buscar alguma forma de trabalhar com a base e com a matriz de transformação para obter a nossa lei.
Passo 2
Para obter o nosso operador, vamos lembrar da operação que deve ser feita para conseguirmos a matriz da transformação .
O procedimento é o seguinte: pegamos o primeiro vetor de , aplicamos a sua transformação e escrevemos como combinação linear dos vetores de . Os coeficientes desta combinação linear serão os coeficientes da primeira coluna de . Escrevendo matematicamente o que este parágrafo diz, é o seguinte:
Se fizermos o mesmo procedimento para o segundo vetor de (e usar os valores da segunda coluna da matriz), temos:
Passo 3
Agora que obtivemos os valores da transformação para os vetores da base de , vamos fazer o seguinte: vamos escrever um vetor qualquer pertencente a como combinação linear da base . Então,
Comparando coordenada a coordenada, temos o seguinte sistema:
Cuja solução é e .
Passo 4
E para finalizarmos a questão, basta aplicarmos a transformação linear ao vetor . Isto é:
Só que nós não escrevemos como combinação linear dos vetores e ? Então,
Utilizando as propriedades das transformações lineares, temos:
E lá no Passo 2 nós não calculamos e ? Substituindo os seus valores,
E assim finalizamos nossa questão.