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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 1

No espaço vetorial M 2 X 3 R , consideramos os vetores:

A = 1 1 0 0 0 0   B = 0 1 2 1 1 1     e   C = 1 2 1 0 0 - 1

a) Calcular 2 A + B - 3 C ;

b) Calcular X ∈ M 2 X 3 R   tal que A + X 2 - X - B 3 = C ;

c) Existem t 1 , t 2 ∈ R de maneira que A = t 1 B + t 2 C ?

Passo 1

Vamos para a nossa letra a)

Temos do enunciado:

A = 1 1 0 0 0 0   B = 0 1 2 1 1 1     e   C = 1 2 1 0 0 - 1

E queremos fazer

2 A + B - 3 C

Portanto

2 * 1 1 0 0 0 0 + 0 1 2 1 1 1 - 3 * 1 2 1 0 0 - 1

A ideia é bem simples, basta multiplicar o escalar por todos os elementos das matrizes e na hora de somar, basta somar elemento a elemento.

2 2 0 0 0 0 + 0 1 2 1 1 1 - 3 6 3 0 0 - 3

Resolvendo, teremos

2 2 0 0 0 0 + 0 1 2 1 1 1 - 3 6 3 0 0 - 3 = - 1 - 3 - 1 1 1 4

Passo 2

Agora a letra b)

Precisamos de um X 2 X 3 que satisfaça essa equação aqui

A + X 2 - X - B 3 = C

Vamos chamar o nosso X da seguinte forma

X = a b c d e f

Colocando isso na nossa expressão, temos

1 2 1 1 0 0 0 0 + a b c d e f - 1 3   a b c d e f - 0 1 2 1 1 1 = 1 2 1 0 0 - 1

1 2 1 + a 1 + b c d e f - 1 3   a b - 1 c - 2 d - 1 e - 1 f - 1 = 1 2 1 0 0 - 1

1 + a 2 1 + b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 -   a 3 b - 1 3 c - 2 3 d - 1 3 e - 1 3 f - 1 3 = 1 2 1 0 0 - 1

3 + a 6 5 + b 6 c + 4 6 d + 2 6 e + 2 6 f + 2 6 = 1 2 1 0 0 - 1

Sendo assim, teremos

3 + a 6 = 1 ;   5 + b 6 = 2 ;   c + 4 6 = 1 ;   d + 2 6 = 0 ;   e + 2 6 = 0 ;   f + 2 6 = - 1    

Dessa forma

a = 3 ; b = 7 ; c = 2 ; d = - 2 ; e = - 2 ; f = - 8

Ou sejaaaaa

X = 3 7 2 - 2 - 2 - 8

Passo 3

Queremos saber se isso tem como existir

A = t 1 B + t 2 C

1 1 0 0 0 0 = t 1 0 1 2 1 1 1 + t 2 1 2 1 0 0 - 1

Multiplicando, teríamos que

1 1 0 0 0 0 = 0 t 1 2 t 1 t 1 t 1 t 1 + t 2 2 t 2 t 2 0 0 - t 2

Ou seja

1 1 0 0 0 0 = t 2 t 1 + 2 t 2 2 t 1 + t 2 t 1 t 1 t 1 - t 2

Olhando o nosso elemento a 11 e   a 22 , teremos:

t 1 = 0     e   t 2 = 1  

Mais isso é contraditório, uma vez que olhando o elemento a 12 teríamos

a 12 = t 1 + 2 t 2 = 0 + 2 * 1 = 2

Mas na matriz A

a 12 = 1

Portanto, não existem t 1   e   t 2   que satisfaçam a nossa equação matricial.

Resposta

a)

2 A + B - 3 C =   - 1 - 3 - 1 1 1 4

b)

X = 3 7 2 - 2 - 2 - 8

c) Não existem t 1   e   t 2   que satisfaçam a nossa equação matricial.

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