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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 9

Nos Exercícios 3 - 12 , determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todas as matrizes 2 × 2 da forma

a 0       0 b

Com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para testar os axiomas, precisaremos fazer algumas considerações:

Seja:

u = a 1 0       0 b 1

v = a 2 0       0 b 2

w = a 3 0       0 b 3

Seja V o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 da forma:

a 0       0 b

Então:

u + v = a 1 0       0 b 1 + a 2 0       0 b 2

u + v = a 1 + a 2 0       0 b 1 + b 2

Assim, podemos dizer que u + v está em V , portanto o axioma 1 é satisfeito.

Passo 2

Vamos encontrar v + u :

v + u = a 2 0       0 b 2 + a 1 0       0 b 1

v + u = a 1 + a 2 0       0 b 1 + b 2

Portanto, podemos dizer que:

u + v = v + u

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que u + ( v + w ) tem que ser igual a u + v + w . Temos que:

u + v + w = a 1 0       0 b 1 + a 2 0       0 b 2 + a 3 0       0 b 3

u + v + w = a 1 0       0 b 1 + a 2 + a 3 0       0 b 2 + b 3

Portanto:

u + v + w = a 1 + a 2 + a 3 0       0 b 1 + b 2 + b 3

Agora vamos avaliar u + v + w . Temos que:

u + v + w = a 1 0       0 b 1 + a 2 0       0 b 2 + a 3 0       0 b 3

u + v + w = a 1 + a 2 0       0 b 1 + b 2 + a 3 0       0 b 3

Portanto:

u + v + w = a 1 + a 2 + a 3 0       0 b 1 + b 2 + b 3

Ou seja:

u + v + w = u + v + w

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 4

Seja 0 0       0 0 o vetor zero em V , temos que:

u + 0 = a 1 0       0 b 1 + 0 0       0 0

u + 0 = a 1 + 0 0 + 0       0 + 0 b 1 + 0

Logo:

u + 0 = a 1 0       0 b 1 = u

Temos também que:

0 + u = 0 0       0 0 + a 1 0       0 b 1

0 + u = a 1 + 0 0 + 0       0 + 0 b 1 + 0

Logo:

0 + u = a 1 0       0 b 1 = u

Portanto:

u + 0 = 0 + u = u

Ficando assim satisfeito o axioma 4 .

Passo 5

Seja o negativo de u :

- u = - a 1 0       0 - b 1

Portanto:

u + - u = a 1 0       0 b 1 + - a 1 0       0 - b 1

u + - u = a 1 - a 1 0       0 b 1 - b 1

Logo:

u + - u = 0 0       0 0

Além disso, podemos dizer que:

u + - u = - u + u

Portanto, - u está em V e u + - u = - u + u = 0 . Sendo assim o axioma 5 está provado.

Seja k um escalar, temos que:

k u = k a 1 0       0 b 1

k u = k a 1 0       0 k b 1

Portanto o axioma 6 está satisfeito.

Passo 6

Já sabemos que u + v = a 1 + a 2 0       0 b 1 + b 2 , portanto:

k u + v = k a 1 + a 2 0       0 b 1 + b 2

k u + v = k a 1 + k a 2 0       0 k b 1 + k b 2

Sabemos também que:

k u = k a 1 0       0 k b 1

Analogamente, temos que:

k v = k a 2 0       0 k b 2

Portanto:

k u + k v = k a 1 0       0 k b 1 + k a 2 0       0 k b 2

k u + k v = k a 1 + k a 2 0       0 k b 1 + k b 2

Ficando assim provado que:

k u + v = k u + k v

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 7

Vamos encontrar k + m u :

k + m u = k + m a 1 0       0 b 1

k + m u = k + m a 1 0       0 k + m b 1

Temos também que:

k u + m u = k a 1 0       0 b 1 + m a 1 0       0 b 1

k u + m u = k a 1 0       0 k b 1 + m a 1 0       0 m b 1

k u + m u = k a 1 + m a 1 0       0 k b 1 + m b 1

Ou seja:

k + m u = k u + m u

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Vamos encontrar agora k m u

k m u = k m a 1 0       0 m b 1

k m u = k m a 1 0       0 k m b 1

k m u = k m a 1 0       0 b 1

Ou seja:

k m u = k m u

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Passo 8

Para o axioma 10 , temos que:

1 u = 1 a 1 0       0 b 1

1 u = a 1 0       0 b 1

1 u = u

Portanto o axioma 10 é satisfeito.

Podemos concluir que o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 da forma a 0       0 b ´r um espaço vetorial.

Resposta

É espaço vetorial.

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