Use o método do Exemplo 2 para encontrar os valores máximo e mínimo de,

sujeita à restrição

Vamos então fazer que:

e

Temos que:

Então:

Agora vamos escrever essa equação na notação matricial que é a forma:

Onde temos:

E como temos nosso :

Da onde eu tirei esse ? Os termos da diagonal principal da matriz são os próprios coeficientes de e de , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Beleza, a gente tem e nessa equação aí? Nãaaaao, então a diagonal é .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz são a metade dos coeficientes do termo misto , ou seja, .

Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

Bora calcular esse negócio juntos!

Ou seja:

Agora conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:

Portanto, para temos:

Perceba que as colunas da matriz serão combinadas linearmente com os valores de . Basicamente vamos ver um jeito de multiplicar alguma coisa por cada coluna que faz com que a soma delas de zero. Se ta boiando ainda, vem comigo… Olha pras duas colunas da matriz… Agora se a gente multiplicar -1 na primeira coluna e somar com a segunda coluna nós zeramos tudo!! Bingo, é isso que queremos fazer. Então nosso vetor será:

Para teremos a mesma coisa. Então:

É isso galera, encontramos os autovetores, agora precisamos normalizar! Então, normalizando o vetor , temos:

Normalizando o vetor, temos:

Agora vamos substituir esses valores de a e b na nossa equação para achar o nosso . Bom temos:

Então temos que:

Lembra que no começo falamos que e , então, vamos substituir os valores de e para achar e :

Então,

Agora para o sinal negativo temos:

Então,

O nosso menor autovalor é e o autovetor correspondente é:

Então, o valor mínimo é e ele ocorre quando .