Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 140

Estude a natureza do ângulo sob o qual um ponto X = x ,   y da elipse E : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 vê:

  1. o eixo maior (suponha que y ≠ 0 , isto é, X ≠ A 1 e X ≠ A 2 );
  2. o eixo menor (suponha que x ≠ 0 , isto é, X ≠ B 1 e X ≠ B 2 );
  3. a corda de E que contém F 1 = - c , 0 , perpendicular ao eixo maior (suponha que x ≠ - c ) ;
  4. a corda de E que contém F 2 = c , 0 , perpendicular ao eixo maior (suponha que x ≠ c ) .

Passo 1

Seja X = x ,   y . Assim, temos que

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ⟹ y 2 = b 2 - b 2 a 2 x 2

Para estudarmos a natureza do ângulo, vamos estudar os produtos escalares.

Passo 2

  1. Vamos estudar X A 1 → ⋅ X A 2 → .

    2. X A 1 → = A 1 - X = a ,   0 - x , y = a - x ,   - y

    X A 2 → = A 2 - X = - a ,   0 - x , y = - a - x , - y

    Portanto,

    X A 1 → ⋅ X A 2 → = a - x , - y ⋅ - a - x , - y = - a 2 - x 2 + y 2 = x 2 + y 2 - a 2

    X A 1 → ⋅ X A 2 → = x 2 + b 2 - b 2 a 2 x 2 - a 2 = x 2 1 - b 2 a 2 + b 2 - a 2

    Como a 2 = b 2 + c 2 ∴ a 2 - b 2 = c 2 , temos

    X A 1 → ⋅ X A 2 → = x 2 c a 2 + c 2 - 2 a 2 = x 2 e 2 + a 2 e 2 - 2

    Passo 3

    Vamos provar que x 2 e 2 + a 2 e 2 - 2 < 0 para todo x .

    x 2 e 2 + a 2 e 2 - 2 = e 2 x 2 + a 2 - 2 a 2

    Sabemos que x < a ⟹ x 2 < a 2 . Assim, x 2 + a 2 < 2 a 2 . Portanto,

    e 2 x 2 + a 2 < 2 a 2 e 2

    Dessa forma,

    x 2 e 2 + a 2 e 2 - 2 < 2 a 2 e 2 - 2 a 2 = 2 a 2 e 2 - 1

    Porém, e 2 - 1 < 0 , já que e < 1 . Assim, vemos que

    x 2 e 2 + a 2 e 2 - 2 < 0

    mostrando que todo ponto vê A 1 A 2 - sob um ângulo obtuso.

    Passo 4

  2. Vamos estudar X B 1 → ⋅ X B 2 → .

    3. X B 1 → = B 1 - X = b , 0 - x , y = b - x , - y

    X B 2 → = B 2 - X = - b , 0 - x , y = - b - x , - y

    Assim,

    X B 1 → ⋅ X B 2 → = - b 2 - x 2 + y 2 x = x 2 + y 2 - b 2

    Como a 2 = b 2 + c 2 , segue que

    X B 1 → ⋅ X B 2 → = x 2 + b 2 - b 2 a 2 x 2 - b 2 = x 2 a 2 - b 2 a 2 = x 2 ⋅ e 2

    Logo, vemos que

    X B 1 → ⋅ X B 2 → > 0

    já que x ≠ 0 (por hipótese). Portanto, todo ponto vê B 1 B 2 - sob ângulo agudo.

    Passo 5

  3. Sejam C e D os extremos da corda. As abcissas desses pontos valem - c . Logo,

    4. c 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ∴ y = ± b 1 - e 2 ⟹ C = - c , b 1 - e 2 D = - c , - b 1 - e 2

    Agora, vamos estudar X C → ⋅ X D → :

    X C → = C - X = - c , b 1 - e 2 - x , y = - c - x ,   b 1 - e 2 - y

    X D → = - c , - b 1 - e 2 - x , y = - c - x ,   - b 1 - e 2 - y

    Logo,

    X C → ⋅ X D → = - c - x - c - x + b 1 - e 2 - y - b 1 - e 2 - y ⟺

    X C → ⋅ X D → = c + x 2 - b 1 - e 2 - y b 1 - e 2 + y ⟺

    X C → ⋅ X D → = c + x 2 - b 2 1 - e 2 - y 2 ⟺

    X C → ⋅ X D → = x 2 + 2 c x + c 2 - b 2 1 - e 2 + y 2 ⟺

    X C → ⋅ X D → = x 2 + y 2 + 2 c x + c 2 - b 2 1 - e 2 ⟺

    X C → ⋅ X D → = x 2 + b 2 - b 2 a 2 x 2 + 2 c x + c 2 - b 2 1 - e 2 ⟺

    X C → ⋅ X D → = x 2 1 - b 2 a 2 + 2 c x + c 2 + b 2 e 2 ⟺

    X C → ⋅ X D → = x 2 a 2 - b 2 a 2 + 2 c x + c 2 + b 2 c 2 a 2 ⟺

    X C → ⋅ X D → = x 2 c 2 a 2 + 2 c x + c 2 1 + b 2 a 2 ⟺

    X C → ⋅ X D → = x 2 e 2 + 2 c x + c 2 2 - e 2

    Tal expressão é sempre negativa quando - a ≤ x < - c e positiva quando - c < x ≤ a .

    Passo 6

  4. Basta trocar - c por c no item anterior.

Resposta

  1. Obtuso para todo X .
  2. Agudo para todo X .
  3. Agudo para - c < x ≤ a e obtuso para - a ≤ x < - c .
  4. Agudo para - a ≤ x < c e obtuso se c < x ≤ a .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 16, ache o centro, vértices, focos e extremidades do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos. 5 . 2 x 2 + 3 y 2 = 18
Nos exercícios de 1 a 16, ache o centro, vértices, focos e extremidades do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos. 2 . 4 x 2 + 9 y 2 = 4
Nos exercícios de 1 a 16, ache o centro, vértices, focos e extremidades do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos. 1 . 4 x 2 + 9 y 2 = 3 6
Nos exercícios de 1 a 16, ache o centro, vértices, focos e extremidades do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos. 3 . 25 x 2 + 4 y 2 = 100
Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos. 2 x 2 + 2 y 2 - 2 x + 18 y + 33 = 0