- Determine, em função de e , os vértices e a área do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse .
- Mostre que, se os dois lados do quadrado do item (a) contém os focos da elipse, então é média geométrica entre e , e o lado maior do retângulo fundamental é média geométrica sobre a diagonal e o lado menor.
Passo 1
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Temos o seguinte esquema, onde é um quadrado de lado e são os focos da elipse.
Sejam e . Substituindo as coordenadas de qualquer um desses pontos na equação da elipse, temos
Assim, a área do quadrado será:
Passo 2
Se pertence a um dos lados, então o lado do quadrado será igual à distância focal:
Lembrando que . Assim,
o que mostra que é média geométrica de e .
Passo 2
Lembrando que o retângulo fundamental é o retângulo de lados e , segue que o maior lado é . A diagonal medirá:
Do passo anterior, vimos que
pois lembre-se que .
Assim, temos que
que é o que queríamos demonstrar.
Resposta
Os vértices serão e , onde .