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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 12

Ache o centro, vértices, focos, extremidade do eixo menor da elipse dada. Faça um esboço da curva, mostrando os focos.

2 x 2 + 2 y 2 - 2 x + 18 y + 33 = 0

Passo 1

A questão pede para encontrar as principais características da elipse 2 x 2 + 2 y 2 - 2 x + 18 y + 33 = 0   . Note que agora temos termos de primeiro grau na equação. Desta forma, o vértice não estará na origem!

Completando quadrados para o termo com x :

2 x 2 - 2 x = 2 x 2 - x = 2 x 2 - x + 1 4 - 1 4 = 2 x - 1 2 2 - 1 2

Para y :

2 y 2 + 18 y = 2 y 2 + 9 y = 2 y 2 + 9 y + 81 4 - 81 4 = 2 y + 9 2 2 - 81 2

Assim, a equação da elipse será

2 x - 1 2 2 - 1 2 + 2 y + 9 2 2 - 81 2 + 33 = 0

Portanto,

2 x - 1 2 2 + 2 y + 9 2 2 = 8

Dividindo ambos os lados por 8 :

x - 1 2 2 4 + y + 9 2 2 4 = 1 ⇒ x - 1 2 2 2 2 + y + 9 2 2 2 2 = 1

Note que nesse caso temos a = b = 2 . Essa elipse é na verdade uma circunferência de raio 2 com centro

1 2 ,   - 9 2

Como se trata de uma circunferência, elipse não tem eixo maior e menor.

Passo 2

Para acharmos os focos, temos que

a 2 = b 2 + c 2

Como a = b , temos que c = 0 , de modo que os focos são degenerados no centro da elipse (circunferência).

Passo 3

Um esboço da circunferência é mostrado a seguir:

Resposta

Trata-se de uma circunferência de centro 1 2 ,   - 9 2 e raio 2 .

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